¿Cómo puedes definir matemáticamente una función "tambaleante"?

Question

Hay un montón de funciones que mirar tambaleante.

Por ejemplo, $x^4 + x^3$ se ve un poco inestable cuando se llega cerca del eje x. La función de $\sin(x)$ es extremadamente inestable. La función de $\sin(x) + x$ es también muy inestable.

¿Qué es una expresión matemática que parece a calcular cómo "tambaleante" una función de $f(x)$ es?

Lo que he hecho hasta ahora:

Al principio pensé "tambaleante" fue sólo la pendiente cambiando rápidamente. Para medir la velocidad de la pendiente está cambiando, que sería la pendiente de la ladera, y no nos preocupamos de dirección, por lo que obtenemos:

$$w_1(f; a, b) = \int_a^b | f''(x) | dx$$

donde $w_1$ es la primera definición que he dado con el "tambaleo" de una función de $x = a$ a $x = b$ donde $a < b$.

Sin embargo, cuando he probado esto en la función de $f_1(x) = x^4 + x^3 - x^2 - x$, no parecía justo. $f_1$ parece tambalearse de $-1$ a $1$. Sin embargo, $w_1(f_1) = \int_a^b |12x^2+6x-2|$ que parece ser más grande para $a, b < -1$ o $1 < a, b$, que no es lo que queremos.

Mi siguiente pensamiento fue que tal vez estoy contando cómo a menudo una función de conmutación de una pendiente distinto de cero a cero la pendiente a través de un determinado rango. Esto haría $f_1$ tambalearse de $-1$ a $1$, y también podría hacer $\sin(x)$ ser muy inestable, así.

Sin embargo, yo ni siquiera intento de llegar a una fórmula matemática para esta definición (que voy a llamar a $w_2$), porque me di cuenta de que $f_2 = \sin(x) + 2x$ sería un contraejemplo. También es muy inestable, pero en su vertiente nunca es 0.

Curiosamente, $w_1$ parece hacer un buen trabajo de medición de donde $f_2$ es inestable.

Así que, de nuevo, ¿qué funciones matemáticas que pueden ser utilizados para cuantificar cómo "tambaleante" otra función es?

(Se debe trabajar por lo menos $f_1$ e $f_2$ y esperemos que generalizar a otras funciones.)

Aquí están los gráficos de $f_1$, $f_2$, $w_1(f_1)$, e $w_1(f_2)$ en el caso de que sean útiles para la comprensión.

Answer 1

Tal vez usted está pensando en la variación total. Usted puede pensar en ella como "la distancia vertical recorrida". Usted podría, tal vez, más de una región, se divide el rango de la variación total. Que es, se podría definir su "tambaleo" como $$W_{[a,b]}(f)=\frac{\displaystyle\sup_{x\in[a,b]}f(x)-\inf_{x\in[a,b]}f(x)}{V_{\!b}^{\!a}(f)}, $$ donde, por supuesto, tendríamos que tener $V_{\!b}^{\!a}(f)\not=0.$ Esto $W_{[a,b]}(f)$ sería un número en el intervalo de $(0,1],$ y sería indefinida de una función constante. Se podría definir el "tambaleo" de una función constante a ser uno. $W_{[a,b]}(f)$ sería cercano a cero si la función fue muy movedizo. Que sería igual a $1$ si la función es monótona. Esta idea tiene la virtud de estar bien definido, incluso para los no-muy-buen comportamiento de las funciones.

Si la función es diferenciable, entonces yo haría uso de la longitud de arco de la siguiente manera: $$W_{[a,b]}(f)=\frac{\sqrt{(b-a)^2+(f(b)-f(a))^2}}{\int_a^b\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx}.$$ Esto sería cerca de cero por muy tambaleante funciones, y una por una línea recta. Ningún problema con la división por cero en este caso.

Answer 2

Puede utilizar la curvatura de la gráfica para medir cómo no-recta de la gráfica en un punto dado. Es dado por $$ \kappa(x) = \frac{|f''(x)|}{\big(1+(f'(x))^2\big)^\frac32}$$ Es similar a su primera conjetura $|f''(x)|$ , pero el denominador de las causas que se convierten en pequeños si la pendiente es grande, porque en esta situación, incluso gran $f''(x)$ no significa un gran cambio en la dirección de la gráfica.

La integral de la curvatura a través de una longitud de arco (no sólo sobre $x$) tiene una propiedad interesante, que mide el ángulo con el que el gráfico se ha convertido en un intervalo de:

\begin{align} K_{[a,b]} =\int_a^b \kappa (x) ds(x) &= \int_a^b \frac{|f''(x)|}{\big(1+(f'(x))^2\big)^\frac32} \sqrt{1+(f'(x))^2} dx = \\ &= \int_a^b \frac{|f''(x)|}{1+(f'(x))^2} dx = \\ &= \int_a^b \left| \frac{d}{dx} \arctan f'(x)\right| dx = \\ &= \int_a^b \left| \frac{d}{dx} \varphi(x)\right| dx\end{align} donde $\varphi(x)$ denota el ángulo de declinación de la gráfica en el punto de $x$. El valor absoluto se asegura que gira a la izquierda y gira a la derecha acccumulate, y no se cancelan uno al otro. Como consecuencia de ello $K_{[a,b]}$ no depende de la escala: si se estira el gráfico proporcionalmente en todas las direcciones, que sigue siendo el mismo. También es invariante bajo isometrías (translaciones, rotaciones). Es igual $0$ en los intervalos donde la función gráfica es la recta, de lo contrario siempre mayor que $0$, que puede ser utilizado incluso para los genéricos de curvas (que no son una gráfica de una función), aunque entonces la curvatura debe ser calculado a partir de una fórmula diferente. Es también extensa, que es para $a<b<c$ tenemos $K_{[a,c]}= K_{[a,b]}+K_{[b,c]}$.

En los comentarios de @AdrianKeister propuesto otra escala invariante en la cantidad, la proporción de la longitud del arco y la distancia en línea recta:

$$ R_{[a,b]} =\frac{\int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2} dx}{\sqrt{(b-a)^2+(f(b)-f(a))^2}}$$

Es igual a $1$ para las líneas rectas, de lo contrario siempre mayor que $1$. La escala es invariante, y invariantes bajo isometrías. Parece que funciona lo suficientemente bien para gráficas de funciones, aunque para otras curvas se pueden exhibir algún extraño comportamiento; por ejemplo, para una curva cerrada (como un círculo completo) ha $R_{[a,b]} = \infty$, entonces se convierte en finito de nuevo si puedo tomar más de un círculo completo. Se puede hacer arbitrariamente bigg sólo por el estiramiento de la gráfica en la $y$ dirección ($f(x) \rightarrow \lambda f(x)$). No es extensa, y en realidad, añadiendo a veces teniendo en cuenta un mayor intervalo de tiempo puede hacer que $R$ más pequeño.

Answer 3

Podrías considerar cuando la segunda derivada de la función cambia de signo. Cuando la segunda derivada es negativa, está pasando por una joroba y cuando es positivo está dentro de una especie de forma de tazón, incluso si la función aumenta todo el tiempo, como $2x+\sin x.$