¿Cómo construir números naturales por la teoría de conjuntos?

Question

Definición 1: Para cualquier conjunto $a$ , su sucesor $a^+=a\cup \{a\}$.

De manera informal , queremos construir números naturales tal que :
$0=\emptyset,1=\emptyset^+,2=\emptyset^{++},3=\emptyset^{+++}$,...

Definición 2: Un número natural es un conjunto que pertenece a cada conjunto inductivo.

A continuación, se puede construir un conjunto $\omega$ cuyos miembros son exactamente los números naturales . $\{x | x \text{ belongs to every inductive set } \}$
La discusión anterior fue en Herbert B. Enderton del libro . Sin embargo , yo no ver cómo hacer una conexión entre los $\{0,1,2,3,... \}$ y el número natural definimos anteriormente .

Mi intento :
$(1)$ $\omega$ es inductivo , y es un subconjunto de cualquier otro conjunto inductivo .
$(2)$ $\omega$ es el menor conjunto inductivo . Cada subconjunto inductivo de $\omega$ es concides con $\omega$ .
$(3)$ Si podemos probar $N=\{\emptyset,\emptyset^+,\emptyset^{++},\emptyset^{+++}, ... , ... \}$ es en realidad un conjunto , $N=\omega$ desde $N$ es inductivo y cada miembro de la $x \in N$ también pertenece a $\omega$ .

Mi pregunta :
Quiero definir $N$ como $$\{x\in \omega | x \text{ is finite times successor of }\emptyset \}$$ Sin embargo , la pregunta que sucede cuando queremos definir "finito de veces" . Aunque podemos definir finito por miembros pertenecen a $\omega$ , ¿cómo podemos definir finito de veces a pesar de no definir incluso el número uno en nuestro habitual sentido ?

Answer 1

Usted no puede probar que $N=\{0,0^+, 0^{++}, \ldots\}$ es un conjunto debido a que el lado derecho no es ni siquiera una definición, simplemente sugerente notación. Su intento de definición de un número natural como algo que toma la forma de un número finito de sucesores aplicado a $0$ fracasa por razones que están empezando a sospechar que: no se ha definido lo que significa ser un número finito sin embargo, por no hablar de lo que significa tener dicho formulario, y una cosa más bien parece sin esperanza y sin tener primero una definición de lo que significa ser un número natural.

Lo que podría estar tentado a hacer es "escribir" una infinita disyunción: $$ \mathbb N = \{x: x =0\lor x=0^+\lor x=0^{++}\lor\ldots\}.$$ Esta sería una más lógica enfoque orientado a la intuitiva "definición". Sin embargo, infinidad de fórmulas no son permitidas en el primer orden de la lógica que subyace a la teoría de conjuntos. Hay buenas razones por qué nos atenemos a la primera orden de la lógica, pero no voy a discutir aquí... voy a señalar que lo que de esta definición requiere de la razón sobre completado infinitos, que podría ser incómodo circular a una persona se aproxima con un fundacionalista mentalidad.

Así que tenemos que ser un poco menos directa en nuestra definición, y Enderton da el enfoque más común. Definimos la noción de un conjunto inductivo como uno que contiene $0$ y es cerrado bajo la función sucesor, y luego, lo más importante, vamos a suponer que un conjunto inductivo existe (este es el axioma de infinitud, que, como su nombre sugiere, es necesaria para que haya alguna conjuntos infinitos a todos). A continuación, se define un número natural como un conjunto que pertenece a todo conjunto inductivo, y por lo tanto el conjunto de los números naturales es la intersección de todos los conjuntos inductivos.

(Si no hay conjuntos inductivos, esta definición no funciona como se pretende, ya que cada conjunto es vacuously un miembro de cada conjunto inductivo. El conjunto de los números naturales, no puede ser definida. Sin embargo, la propiedad de ser un número natural todavía puede ser definido, pero uno necesita usar una definición diferente que puede ser de lo más sucintamente expresado en los términos de los números ordinales: un número natural es un ordinal que no es mayor que o igual a los límites ordinal. CopyPasteIt link tiene algo similar que funciona tan bien.)

El hecho de que nos tomamos el más pequeño posible inductivo conjunto es lo que corresponde a la idea de que el conjunto sólo contiene cero y sus sucesores, es decir, las únicas cosas que tenemos que estar ahí para tener un conjunto inductivo. Sin embargo, no podemos esperar a probar algo de la forma $\forall x\in\mathbb N(x=0\lor x=1\lor\ldots)$... como señalé anteriormente, no podemos expresar esta idea en nuestro idioma... si pudiéramos tener probablemente habría definido de esta manera.

Así que hay una razón Enderton define el conjunto de los números naturales como la intersección de todos los conjuntos inductivos en lugar de $"\{0,1,2,\ldots\}"$ o como el conjunto de todos los conjuntos que pueden ser obtenidos a partir de $0$ por un número finito de aplicaciones de la función sucesor: esta definición funciona en el marco y las dos últimas no.

Una versión anterior de esta respuesta hizo algunas observaciones sobre la no-estándar de los modelos que pueden haber engañado a pensar que de alguna manera estos productos naturales definimos en la teoría de conjuntos no son "reales" de los números naturales. No nos engañemos: lo que Enderton está haciendo aquí es dar una definición rigurosa de los números naturales en el marco de la teoría de conjuntos. (Y también podemos definir toda la estructura más habitual, la aritmética, etc.) La intención es que precisa de la idea intuitiva y también para unificar con cualquier número de otros conceptos matemáticos que también pueden ser codificados en ZF. Así que este conjunto está diseñado para ser de los números naturales, para todos los intentos y propósitos.

(Esta no es la única manera de ver esto: nadie dice que tenemos que usar un conjunto de fundamentos teóricos. Por otra parte, el concepto de los números naturales también tiene su propio eficaz sistema de axiomas (PA o de segundo orden variantes de la misma) que podemos utilizar para el estudio de la aritmética y el análisis en el aislamiento. ¿Qué es la "real" de números naturales no es realmente un brusco o en mi opinión significativa pregunta.)

Answer 2

No puede definir el conjunto $\{\emptyset, \emptyset^+, \emptyset^{++}, \ldots\}$ . Si podemos construir un conjunto $X$ con la propiedad $$\emptyset^{(n)}\in X \text{ for every natural number(external) } n,$$ then the compactness theorem provides that there might exist an element of $ X$, which is not $ \ emptyset ^ {(n)}$ for every $ n $ .