La topología más fuerte que hace que el espacio vectorial sea localmente convexo.

Question

Aquí es un ejercicio de Barvinok del "Curso de formación en la Convexidad" (ex. III.3.3.3, pág.119):

Demostrar que el más fuerte de la topología que se hace de un espacio vectorial $V$ localmente convexo espacio vectorial topológico es la topología donde $U \subseteq V$ es abierto si y sólo si se trata de una unión de convexo algebraicamente abrir sets.

No es la topología discreta (todos los conjuntos son abiertos) girando $V$ en un localmente convexa de los TELEVISORES? En efecto, cada singleton conjunto $\{x\}$ es convexo y abierto, las operaciones son continuas, y cada singleton también está cerrado.

Me estoy perdiendo algo o hay un problema con el ejercicio? Si la declaración es incorrecta, entonces ninguna pista en cuanto a lo que debe ser la correcta declaración?

Answer 1

No! La multiplicación escalar $\mathbb{F}\times V\to V$ ($\mathbb{F}=\mathbb{R},\mathbb{C}$) deja de ser continua si pones la topología discreta en un trivial $V$. De hecho, la fijación $v\neq 0$, la inversa de la imagen del conjunto abierto $\{v\}$ de la intersección de la abra $\mathbb{F}\times\{v\}\subset\mathbb{F}\times V$ es un singleton $\{(1,v)\}$, que no está abierto en el $\mathbb{F}\times\{v\}$.

Esto también se debe alusión a cómo recuperar la "algebraicamente abierto".