¿Cuándo un homomorfismo biyectivo es un isomorfismo?

Question

Para algunas "estructuras" (en sentido informal a falta de un término formal) en matemáticas, como los grupos, los anillos y los espacios vectoriales, un homomorfismo biyectivo es un isomorfismo; es decir, la inversa es también un homomorfismo. Para algunas otras estructuras, como los espacios topológicos y las variedades diferenciables, un homomorfismo biyectivo puede no ser un isomorfismo.

¿Existen caracterizaciones de subclases de estructuras que tengan la propiedad de que un homomorfismo biyectivo es un isomorfismo? Por ejemplo, ¿todos los estructuras algebraicas (en sentido formal esta vez) tienen esta propiedad?

Answer 1

Recordemos que las estructuras y sus mapas de preservación de la estructura suelen reunirse en categorías. Así, hay una categoría $Grp$ de grupos, $Ab$ de grupos abelianos, $Ring$ de anillos, etc. Ahora bien, si las estructuras se basan en conjuntos, entonces a menudo habrá un functor de olvido $C\to Set$ de la categoría $C$ a la categoría de conjuntos y funciones. La propiedad que se busca es la reflexión de los isomorfismos por este functor. Así, se puede preguntar, para una categoría dada $C$ cuando es el funtor de olvido $C\to Set$ ¿Suponiendo que exista, refleja el isomorfismo? Una respuesta bastante amplia es que siempre que $C\to Set$ es monádico. Ahora, este último término es un poco más técnico, pero, en pocas palabras, $C\to Set$ es monádico si $C$ es una categoría de estructuras algebraicas suficientemente agradable. La monadicidad capta muchas estructuras algebraicas, pero no, por ejemplo, los posets (si se consideran algebraicos): el functor de olvido no refleja los isomorfismos.

Curiosamente, esta noción de reflexión de los isomorfismos es, de hecho, una de las condiciones del Teorema de Monadicidad de Beck que caracteriza las adjunciones monádicas.

Answer 2

Una anécdota relevante pero no una respuesta.

Cuando estudié álgebra abstracta (en 1956, mucho antes de las categorías) una pregunta del primer examen pedía la definición de un isomorfismo para una relación de equivalencia, algo que no habíamos tratado en clase.

Yo (y la mayoría de mis compañeros) modificamos ingenuamente la definición que conocíamos para los homomorfismos de grupo, exigiendo que la biyección $\phi$ satisfacer $\phi(x) \equiv \phi(y)$ siempre que $x \equiv y$ . Todos hemos perdido puntos.