¿Los modelos de MA no invertibles implican que el efecto de las observaciones pasadas aumenta con la distancia?

Question

Actualización (2019-06-25): cambiar el título de "¿no es invertible MA modelos sentido?" para distinguirla de la Pregunta 333802.

Mientras que la revisión de MA($q$) modelos, me encontré con estas diapositivas (Alonso y García-Martos, 2012). Los autores afirman que, mientras que todas las MA procesos son estacionarios, si son no invertible tiene

"la situación paradójica en la que el efecto de las observaciones pasadas aumenta con la distancia."

Esto puede ser visto en la descomposición de la MA(1) proceso: $$ y_t = \epsilon_t - \theta \epsilon_{t-1} $$ en $$ y_t = \epsilon_t -\sum_{i=1}^{t-1} \theta ^i y_{t-i} - \theta^t \epsilon_0,$$ donde claramente $|\theta|>1$ se traduce en la historia a tener más influencia sobre el presente. Dos cosas me molestan:

1. No es difícil imaginar una situación en la que hay una de un período de tiempo de retraso en los efectos de algo
2. Esta Cruz Validado Post tiene una respuesta que afirma:

"Invertibility no es realmente un gran problema debido a que casi cualquier Gaussiano, no invertible MA(q), el modelo puede ser cambiada a una invertible MA(q) modelo que represente el mismo proceso"

Es cierto que el efecto de las observaciones anteriores se incrementa con la distancia? Si es así, ¿que hacen los modelos aptos para la descripción de los fenómenos del mundo real?

Answer 1

No es una gran cosa - es muy inmóvil y enfoques de ruido blanco

El no invertible $\text{MA}(1)$ proceso tiene perfecto sentido, y no presentan ningún particularmente extraño comportamiento. Tomando el Gaussiano versión de el proceso, para cualquier vector $\mathbf{y} = (y_1,...,y_n)$ compuesto de observaciones seguidas, tenemos $\mathbf{y} \sim \text{N}(\mathbf{0}, \mathbf{\Sigma})$ con covarianza:

$$\mathbf{\Sigma} \equiv \frac{\sigma^2}{1+\theta^2} \begin{bmatrix} 1+\theta^2 & -\theta & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ -\theta & 1+\theta^2 & -\theta & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - \theta & 1+\theta^2 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1+\theta^2 & -\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -\theta & 1+\theta^2 & -\theta \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -\theta & 1+\theta^2 \\ \end{bmatrix}.$$

Como se puede ver, este es un fuerte proceso estacionario, y las observaciones que están más de un lag aparte son independientes, incluso cuando $|\theta|>1$. Esto no es sorprendente, en vista del hecho de que tales observaciones no comparten ningún tipo de influencia de la subyacente proceso de ruido blanco. No parece ser cualquier comportamiento en el que "más allá de observaciones aumenta con la distancia", y la ecuación que has dicho no establecer esta (ver más abajo para más discusión).

De hecho, como $|\theta| \rightarrow \infty$ (que es el caso más extremo de que el fenómeno que estamos considerando) el modelo reduce asintóticamente a un trivial proceso de ruido blanco. Esto es completamente lógico, en vista del hecho de que un gran coeficiente en la primera quedado término de error domina la unidad coeficiente de la concurrentes término de error, y cambia el modelo de asintóticamente hacia la forma $y_t \rightarrow \theta \epsilon_{t-1}$, que es solo cambiar la escala y la versión de la base del proceso de ruido blanco.

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Una nota en la ecuación: En la ecuación en su pregunta se escribe el valor actual de los observables de la serie de tiempo como un geométricamente creciente suma de los valores del pasado, además de que los términos de error. Esto se hace valer para demostrar que "el efecto de las observaciones anteriores se incrementa con la distancia". Sin embargo, la ecuación implica a un gran número de cancelación de términos. Para ver esto, vamos a ampliar el pasado observable términos para mostrar la cancelación de los términos:

$$\begin{equation} \begin{aligned} y_t &= \epsilon_t - \sum_{i=1}^{t-1} \theta^i y_{t-i} - \theta^t \epsilon_0 \\[6pt] &= \epsilon_t - \sum_{i=1}^{t-1} \theta^i (\epsilon_{t-i} - \theta \epsilon_{t-i-1}) - \theta^t \epsilon_0 \\[6pt] &= \epsilon_t - ( \theta \epsilon_{t-1} - \theta^2 \epsilon_{t-2} ) \\[6pt] &\quad \quad \quad \quad \quad \ \ \ - ( \theta^2 \epsilon_{t-2} - \theta^3 \epsilon_{t-3} ) \\[6pt] &\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad - ( \theta^3 \epsilon_{t-3} - \theta^4 \epsilon_{t-4} ) \\[6pt] &\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \ \ - \ \cdots \\[6pt] &\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \ \ - ( \theta^{t-1} \epsilon_1 - \theta^t \epsilon_0 ). \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

Podemos ver de esta expansión que el geométricamente creciente suma de los valores pasados de la observables serie de tiempo es no únicamente para obtener el anterior término de error:

$$\epsilon_{t-1} = \sum_{i=1}^{t-1} \theta^{i-1} y_{t-i} + \theta^{t-1} \epsilon_0.$$

Todo lo que está sucediendo aquí es que usted está tratando de expresar el anterior término de error en una manera poco delicada. El hecho de que una larga cancelación de la suma de los geométrica ponderada de los valores de la serie es igual a la deseada término de error no demuestra que el pasado observaciones están teniendo un "efecto" en el momento actual-valor de la serie. Esto simplemente significa que si usted quiere expresar $\epsilon_{t-1}$ en términos de $\epsilon_0$ entonces la única manera que usted puede hacer es agregar en el geométricamente la suma ponderada de los observables de la serie.

Answer 2

Creo que no tiene sentido pedir un ejemplo "en el mundo real, donde ellos [no invertible MA modelos] producirse". Todo lo que se observa es $y_1,y_2,\dots,y_n$. Como trato de explicar en el post el vínculo, la distribución conjunta de estos datos puede casi siempre (excepto en el caso en el que se la MA polinomio tiene una o más unidades de raíces) tengan el mismo modelado como la generada por un número de no invertible MA modelos o por el correspondiente invertible MA modelo. Basado en los datos solos, por eso no hay forma de saber si el "mundo real" mecanismo subyacente corresponde a la de un no invertible o invertible modelo. Los modelos ARIMA y son de todos modos no tiene la intención de modelos mecanicistas de los datos de proceso de generación en el primer lugar.

Así que esto sólo se reduce a restringir el espacio de parámetros para que de invertible modelos para hacer que el modelo de identificación personal con la ventaja añadida de tener un modelo que es fácil de llevar a la AR$(\infty)$ formulario.