Demuestre que una ecuación siguiente no tiene solución en enteros:$x^3-x+9=5y^2$

Question

Demostrar que la siguiente ecuación no tiene solución en los números enteros: $$x^3-x+9=5y^2$$

Claramente podemos ver que $y$ es impar, por lo $y^2\equiv_8 1$ e lo $8\mid x^3-x-4$. Así que si $x$ es impar, entonces $x-1$ e $x+1$ uno es divisible por $2$ y otros por $4$ lo $8\mid x^3-x$ e lo $8\mid 4$ lo cual no es cierto. Por lo $x$ debe ser, también, incluso e incluso divisible por $4$ , pero no por $8$.

También si tomamos mod 5 obtenemos $x^3\equiv_5 x+1$ e lo $$x^2 \equiv_5 x^6 \equiv_5 (x+1)^2 = x^2+2x+1\implies 2x\equiv_5 -1 \implies x\equiv_5 -3$$

Si nos fijamos en el modulo 3 $$x^3-x+9\equiv_3 0\implies 3\mid y \implies 9\mid (x-1)x(x+1)$$ por lo $x \equiv_9 0,\pm1$.

pero no puedo ir más allá.

Answer 1

Aqua, aquí está.

Como usted ha obtenido, $x\equiv 2\pmod{5}$. Ahora, $x(x-1)(x+1)=5y^2-9$. Tenga en cuenta que, $x+1\equiv 3\pmod{5}$, y es impar. Yo ahora dicen que hay un primer $p\mid x(x-1)(x+1)$ tal que $p\equiv 2,3\pmod{5}$, e $p\neq 3$. Si $x\equiv 1,2\pmod{3}$, entonces el objeto de $x$ claramente tiene un divisor primo (de hecho, si todos los primos divisores de $x$ son de la forma $5k\pm 1$ , entonces no puede ser congruente a $2$ en el modulo $5$). Del mismo modo, si $x\equiv 0\pmod{3}$, a continuación, $x+1$ no es divisible por $3$, y con la misma lógica, tiene un divisor primo.

Ahora, aislar un divisor primo, $p\neq 3$ e $p\equiv \pm 2\pmod{5}$. Observar que, $p\mid 5y^2-9$, es decir, $$ 5y^2\equiv 3^2\pmod{p}\Rightarrow (\frac{5}{p})=1, $$ es decir, $5$ es un residuo cuadrático módulo $p$. Siguiente, por la ley de la reciprocidad cuadrática, $$ (\frac{5}{p})(\frac{p}{5})=(-1)^{\frac{p-1}{2}\cdot 2}=1\Rightarrow (\frac{p}{5})=1 $$ Pero desde $p\equiv \pm 2\pmod{5}$, esto es claramente imposible!