¿El estúpido problema de computadora: se puede escribir cada polinomio con solo $ $x?

Question

Cuando yo era un niño, quería ser matemático, así que le pedí a mis padres que me compre un ordenador para hacer super cálculos complejos. Por supuesto, no eran lo suficientemente loco como para comprar un costoso super ordenador, así que me compró una forma más barata Estúpido Equipo™. En el anuncio de TELEVISIÓN, dijo que "Estúpido Equipo™ puede realizar cualquiera de las operaciones de un Super Ordenador™ puede hacer !". Como confiar en como 8 años de edad, niño puede ser hacia el marketing, yo confiaba en ellos.

De hecho, y me di cuenta de que años más tarde, Estúpido Equipo™ fue sólo un Super Ordenador™ con un defecto de fabricación.

Con un Super Ordenador™ puede calcular todas las funciones polinómicas como $ x^7-42x^3+3x$.

Un error Estúpido en Equipo™ impide el uso de la $x$ clave más de una vez. Por ejemplo, usted no puede entrar $x2+x$ pero se puede entrar $(x+1/2)^2-1/4$ en su lugar.

Super y Estúpido equipo sólo puede usar las operaciones de adición, multiplicación, exponente... y su opuesto : la resta, división, raíces, logaritmos...

La pregunta es: ¿ Puede realmente un Estúpido Equipo hacer de todo un Super Equipo ?

Answer 1

En primer lugar, vamos a suponer que Schanuel la conjetura es verdadera y hablar de manera muy informal. :)

Timoteo Chow, de 1999, artículo ¿Qué es un formato Cerrado Número? demuestra que la exponencial y el logaritmo funciones realmente no ayudan a expresar números algebraicos. Cualquier algebraica de números que pueden ser expresados mediante las funciones también se pueden expresar utilizando sólo los radicales. Esto se afirma como Corolario 1 en la parte superior de la página 444.

Así, la expresión $x^5-x$ no puede ser reescrito con una sola de $x$ el uso de exponenciales y logaritmos. Si, es posible, nos gustaría ser capaces de resolver la ecuación $x^5-x=1$ por la inversión de esas funciones, lo que significa que podemos resolver utilizando los radicales, lo cual es imposible.

Podemos hacer sin Schanuel de la conjetura? Tal vez. Chow alude a los resultados parciales que no necesitan de la conjetura:

Es el folclore que en general ecuaciones polinómicas (es decir, aquellos con variable con coeficientes) no puede ser resuelto en términos de exponenciales y logarítmicas funciones, aunque nadie parece haber escrito una completa prueba parcial de las pruebas pueden ser encontrados en [C. Jordania, Traité des Sustituciones et des Équations Algébriques, Gauthier-Villars, 1870, párrafo 513] y [V. B. Alekseev, Abel Teorema de Problemas y Soluciones, Izdat. "Nauka," de 1976 (ruso), pág. 114].

No he rastreado esas referencias. Tal vez hay una ecuación donde sólo el 0 del coeficiente de una variable, como $x^5-x+C=0$, que no puede ser resuelto de la manera pertinente. No estoy necesariamente a la caza de la recompensa, así que tal vez alguien pueda recoger la historia a partir de ahí?

Answer 2

$f(x) = x ^ {3} - x$ es un contraejemplo. Asumir por contradicción que existen $\alpha, \beta \in\mathbb{R}, n \in \mathbb{Z}$ tal que $f(x) = (x + \alpha)^{n} + \beta$. Desde $ $f(x) tiene grado $3$, sabemos $n = 3$. Así $f(x) = x ^ {3} + 3 \alpha x ^ {2} + 3 \alpha^{2} x + (\alpha^{3} + \beta) $. Si $\alpha \neq 0$, entonces tiene un $x ^ plazo {2} $ y $\alpha = 0$, entonces tiene $x ^ {3} + \beta$. Ni trabaja, por lo que no se puede escribir como tal.

Answer 3

Puede realmente un Estúpido Equipo hacer de todo un Super Equipo ?

Esta es una pregunta abierta. Aquí están algunas de las interpretaciones que tengo de ella.

Puede el anillo de los polinomios de más de $\mathbb{R}$ ser representado como una potencia de un polinomio de grado uno, además de algunas constantes.

Cualquier expresión mediante las operaciones de campo en $\mathbb{R}$ y escribir $x$ sólo una vez puede ser reducido a algunos polinomio de la forma

$$ (ax^m + b)^n + c $$

Esto es muy sencillo de comprobar, así que voy a dejar de hacerlo. La respuesta a esta pregunta es, entonces, no, como se ha señalado por el usuario AJY en otra respuesta.

edit: he hecho un error de arriba como se ha señalado por usuario David Speyer en los comentarios de abajo.

Estamos limitados en lo que los cálculos que podemos hacer con el Estúpido Equipo™?

Así, los polinomios pueden ser representados como una secuencia de coeficientes, así que no hay realmente ninguna necesidad de escribir $x$ en todo!

Cada polinomio puede tener una raíz real. Si nos fijamos en el conjunto de todos los polinomios y la colección de todas las posibles raíces, es esta raíz conjunto de la misma para ambos Estúpido Equipo™ y Super Ordenador™?

Sí. Si nuestro polinomio de coeficientes están en $\mathbb{R}$, entonces no es un realista equipo y trivialmente cierto, ya que para cualquier raíz $$, el polinomio de grado 1 $x-$ ha, precisamente, la raíz queremos.

Sin embargo, esto es cierto incluso si nuestro coeficientes son en $\mathbb{Q}$! El conjunto de todas las raíces reales para todos los polinomios es sólo una combinación lineal de los elementos de $\mathbb{Q}$ y las raíces de los mismos.