Me encontré con el siguiente ejercicio: supongamos que tenemos una topología sobre un conjunto infinito $X$ que contiene todos los subconjuntos infinitos de $X$ . Demuestra que la topología es discreta.
He aquí una manera de abordar esto: elegir dos subconjuntos infinitos disjuntos $A$ y $B$ de $X$ . Para cualquier $x\in X$ , $A\cup\left\{x\right\}$ y $B\cup\left\{x\right\}$ son abiertos y también su intersección, que es simplemente $\left\{x\right\}$ . Por lo tanto, todos los singletons son abiertos y la topología es discreta.
Esta prueba es esencialmente la misma que la aquí .
Sin embargo, no me gusta del todo este argumento, principalmente por el paso en el que decimos "elige dos subconjuntos infinitos disjuntos de $X$ ". Esto no es realmente un problema en ZFC ya que es posible demostrar que todo conjunto infinito tiene un subconjunto infinito contable y después de establecer esto, escoger $A$ y $B$ es simple. Pero, ¿y si trabajo sin el axioma de la elección?
Por lo tanto, mi pregunta es: ¿se puede demostrar sin AC que todo conjunto infinito contiene dos subconjuntos infinitos disjuntos o es posible evitarlo por completo demostrando que la topología es discreta de otra manera (sin depender de AC)?
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Si no recuerdo mal (esto no es una respuesta porque no estoy seguro) es consistente con ZF que exista un conjunto infinito tal que todo subconjunto sea finito o cofinito. Si tal conjunto existe, entonces el conjunto de subconjuntos infinitos de $X$ (+ $\emptyset$ ) es una topología (estable bajo uniones finitas porque los conjuntos cofinitos lo son), y no es discreta