Que $R$ ser un anillo comutativo con 1. ¿Si cada ideal máximo de $R$ principal, es $R$ un anillo ideal principal?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
El enlace de la brecha entre el director de la máxima ideales del director y de los ideales de los anillos es un puente por dos teoremas (y sus combinaciones):
(Kaplansky): Para un conmutativa Noetherian anillo $R$, $R$ es uno de los principales ideales del anillo de iff cada ideal maximal es la directora.
(Cohen): Para un anillo conmutativo $R$, $R$ es Noetherian iff cada primer ideal es finitely generado.
(Cohen-Kaplansky): Un anillo conmutativo $R$ es uno de los principales ideales del anillo de iff cada primer ideal es principal.
Ya que no puede ser más principales ideales que sólo la máxima ideales, se puede ver que $R$ tiene una probabilidad de fallar si sólo su máxima ideales son principales.
Dos referencias a ejemplos que aparecen en este MO post: http://mathoverflow.net/questions/30715/a-remark-on-cohens-theorem . Yo no sería capaz de encajar en un ejemplo completo mejor que podían, así que espero que las referencias son suficientes. (Más allá de la referencia en la aceptación de la solución, no es una solución en los comentarios que puedan adaptarse mejor a usted, dependiendo de sus antecedentes. Para ser claros, que han principal máxima ideales, pero no son Noetherian y por lo tanto no principal ideal de los anillos. )
Para una prueba de Kaplansky del teorema, usted puede también buscar en el documento original , que es gratis para ver online. (Teorema 12.3)
