Demostrando que $a_n=\sqrt{n^2+n}-n$ converge, encontrando su límite y mostrando que su secuencia ${(a_n)^{\infty}_{n=1}}$ es monotínico.

Question

Como dice el título, a continuación he probado la afirmación. Sólo lo he publicado aquí para que se verifique y se corrija. Y por supuesto para que otras personas se inspiren.

Dejemos que $a_n=\sqrt{n^2+n}-n$ con $n\in\mathbb{N}.$ Demuestra que $a_n$ converge como $n\to\infty$ encontrar su límite, y demostrar que la secuencia ${(a_n)^{\infty}_{n=1}}$ es monotínico.

Prueba:

Para convergencia buscamos:

$\forall_{\epsilon\gt0}\exists_{n\in\mathbb{N}}\forall_{n\gt N}(|a_n-l|<\epsilon) \iff l-\epsilon<a_n<l+\epsilon.$ Si esta propiedad se mantiene para una y sólo una $l$ entonces $a_n$ convergencia con su límite siendo único.

$l-\epsilon<\sqrt{n^2+n}-n<l+\epsilon \iff (l+n-\epsilon)^2<n^2+n<(l+n+\epsilon)^2 \iff$

$n(n+l-\epsilon)+l(n+l-\epsilon)-\epsilon(n+l-\epsilon) <n^2+n<$ $n(n+l+\epsilon)+l(n+l+\epsilon)+\epsilon(n+l+\epsilon)$

$\epsilon$ puede ser aleatoriamente pequeño, por lo que puede ser omitido para grandes $n$ . Entonces;

$n(n+l)+l(n+l)<n^2+n< n(n+l)+l(n+l) \iff$ $n^2+2ln+l^2<n^2+n<n^2+2ln+l^2.$

Como $n\to\infty$ todos los términos que no contengan $n$ pueden omitirse, ya que son poco impactantes. Entonces;

$n^2+2ln<n^2+n<n^2+2ln \iff 2ln<n<2ln \iff n=2ln \iff l=\frac{1}{2}.$

Esta propiedad sólo es válida para un $l$ Así que $a_n$ es convergente, y con ello, su límite $l=\frac{1}{2}$ también se ha encontrado.

Para monotonía buscamos:

$\forall_n(\sqrt{(n+1)^2+(n+1)}-(n+1)>\sqrt{n^2+n}-n)$ .

Para todos $n$ :

$1>0 \iff 4n^2+4n+1>4n^2+4n \iff (2n+1)^2>4(n^2+n) \iff$ $2n+1>2\sqrt{n^2+n} \iff n^2+2n+1>n^2+2\sqrt{n^2+n} \iff$ $(n+1)^2>n^2+2\sqrt{n^2+n} \iff (n+1)^2+n+1>n^2+n+2\sqrt{n^2+n}+1 \iff$ $\sqrt{(n+1)^2+n+1}>\sqrt{n^2+n}+1 \iff\sqrt{(n+1)^2+(n+1)}-(n+1)>\sqrt{n^2+n}-n$

Así que la serie ${(a_n)^{\infty}_{n=1}}$ es monótona.

Conclusión:

$a_n$ converge con su único límite siendo $l=\frac{1}{2}$ y la serie ${(a_n)^{\infty}_{n=1}}$ es monotínico. $\tag*{$ \N - Caja $}$

Answer 1

Puede "guardar" su cálculo de $l$ así: tienes $$n^2+2n(l-\epsilon)+(l-\epsilon)^2<n^2+n<n^2+2n(l+\epsilon)+(l+\epsilon)^2.$$ Eliminación de $n^2$ y dividiendo por $n$ da $$2(l-\epsilon)+\frac{(l-\epsilon)^2}{n}<1<2(l+\epsilon)+\frac{(l+\epsilon)^2}{n}.$$ Como tiene que ser cierto para todos los grandes $n$ ( $n\to\infty$ ) debe mantener $$2(l-\epsilon)\le 1\le 2(l+\epsilon).$$ Dado que se mantiene para cualquier $\epsilon>0$ tenemos $$2l\le 1\le 2l.$$

Answer 2

Un enfoque más sencillo: $a_n>0$ ,

$$a_n^{-1}=\frac{1}{\sqrt{n^2+n}-n}=\frac{\sqrt{n^2+n}+n}{n}=\sqrt{1+n^{-1}}+1$$

es decreciente y $a_n^{-1}\to 2$ . Así que $(a_n)$ está aumentando y $a_n\to 1/2$ .

Answer 3

$$a_n={n\over \sqrt{n^2+n}+n}= {1\over \sqrt{1+{1\over n}}+1}$$

así que $$0<a_n\leq {1\over 2}$$ y como $\sqrt{1+{1\over n}}+1$ es decreciente por lo que es $a_n$ creciente. Así que $a_n$ es convergente con límite ${1\over 2}$ .