Invariantes de Hasse bajo extensión de escalares

Question

Dejemos que $K\subset L$ sean extensiones finitas de $\Bbb{Q}$ .

Antecedentes. Dejemos que $D$ sea un álgebra de división de dimensión finita con centro $K$ . Su clase en el grupo de Brauer $Br(K)$ entonces mapea inyectivamente en la suma directa de los grupos de Brauer $Br(K_v)$ con $v$ que se extienden sobre las terminaciones de $K$ . Cada uno de los grupos $Br(K_v)\simeq \Bbb{Q}/\Bbb{Z}$ y éstas encajan en la secuencia exacta corta fundamental (véase, por ejemplo, el capítulo VIII de las notas de Milne sobre CFT) $$ 0\to Br(K)\to\bigoplus_{v}Br(K_v)\to\Bbb{Q}/\Bbb{Z}.\qquad(*) $$ Aquí la clase $[D]\in Br(K)$ se asigna a $\bigoplus_v[D_v], D_v:=D\otimes_KK_v$ y sabemos que $[D_v]$ es no trivial sólo un número finito de $v$ . Los componentes no triviales de la imagen son los invariantes de Hasse $inv(D_v)$ (vistos como elementos de $\Bbb{Q}/\Bbb{Z}$ ) de $D$ y por la exactitud de $(*)$ suman un número entero.

Pregunta. También podemos ampliar los escalares de $K$ a $L$ y forman la central simple $L$ -Álgebra $D_L:=D\otimes_KL$ . Tenemos un diagrama conmutativo natural (corregidme si me equivoco) $$ \begin{array}{ccc} Br(K)&\longrightarrow&Br(K_v)\\ \downarrow&&\downarrow\\ Br(L)&\longrightarrow&\bigoplus_{w\mid v}Br(L_w), \end{array} $$ donde todos los mapeos son más o menos extensiones de escalares, y $w$ se extiende sobre las extensiones de $v$ .

¿Existe una descripción del mapeo de la columna derecha en términos del comportamiento de $v$ en la extensión $L/K$ . En otras palabras, si $v$ proviene de un primer $\mathfrak{p}$ de $K$ y conocemos el grado de inercia y el índice de ramificación de cada primo $\mathfrak{P}$ de $L$ por encima de $\mathfrak{p}$ ¿existe una fórmula sencilla para la invariante de Hasse $inv({D_L}_w)$ en términos de $inv(D_v)$ , $e(\mathfrak{P}\mid \mathfrak{p})$ y $f(\mathfrak{P}\mid\mathfrak{p})$ (obviamente $w$ correspondiente a $\mathfrak{P}$ )?

Ejemplo. Considere el caso de $K=\Bbb{Q}$ y $D=\Bbb{H}$ el anillo de cuaterniones hamiltonianos con coeficientes racionales. Entonces $D$ tiene dos invariantes de Hasse no triviales, ambos $=1/2$ . Uno en el lugar infinito (correspondiente al hecho de que $D\otimes\Bbb{R}$ es un álgebra de división) y el otro en el primo $v=2$ ( $2$ es un factor del discriminante de un orden máximo de $D$ o $-1$ no está en la imagen del mapa normativo $N:\Bbb{Q}_2(i)\to\Bbb{Q}_2$ ). Si utilizamos el campo de extensión $L=\Bbb{Q}(\sqrt5)$ obtenemos el álgebra de división de Icosianos . El anillo icosiano (un orden máximo de $D_{\Bbb{Q}(\sqrt5)}$ ) tiene discriminante unitario, por lo que el invariante Hasse no trivial en $v=2$ se trivializó. Esto está probablemente relacionado con alguna combinación de hechos

• $2$ es inerte en $L/K$ ,
• $-1$ es una norma en la extensión $L_2(i)/L_2$ porque $L_2$ contiene terceras raíces primitivas de la unidad $\omega$ y $\omega^2$ y $N^{L_2(i)}_{L_2}(\omega+i\omega^2)=\omega^2+\omega^4=-1$ .

Por otro lado $D_L$ tiene dos invariantes de Hasse no triviales en los dos lugares infinitos.

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He dado el ejemplo para ayudar a los que responden a calibrar mi nivel de familiaridad con los resultados básicos pertinentes. Estoy familiarizado con la construcción de álgebras de división cíclica utilizando elementos no normales. He leído los capítulos 1-7 de los apuntes de Milne en nuestro grupo de estudio hace 12-15 años, y me he familiarizado con algunos de sus extras, pero estoy un poco oxidado. Se agradece que me indiquen la bibliografía pertinente, pero como la CFT se puede dar en muchos idiomas diferentes, puede que necesite ayuda para reinterpretar los resultados en otro.

Answer 1

Si se parte de la caracterización cohomológica del grupo de Brauer de cualquier campo $K$ como $Br(K) = H^2(G_K, \bar K ^{*})$ entonces el mapa de extensión $Br(K) \to Br(L)$ en una extensión de campo es sólo la restricción cohomológica $res_{L/K}$ .

Ahora bien, si $K$ es un campo numérico, $Br(K)$ está descrita por la secuencia exacta (*) que has anotado (NB: el mapa de "suma de componentes" de la derecha es sobreyectivo), con $Br(\mathbf R) =\mathbf Z /2\mathbf Z$ , $Br(\mathbf C) = 0$ y para un lugar no arquimédico $v$ , $ Br(K_v) \cong \mathbf Q / \mathbf Z$ por el invariante local de Hasse. Entonces, para un lugar $w$ de $L$ sobre un lugar $v$ de $K$ el mapa de restricción local $ Br(K_v) \to Br(L_w)$ en la columna derecha de su diagrama conmutativo es sólo la multiplicación por el grado de $L_w /K_v$ (esto puede verse como un resultado de la CFT local en términos cohomológicos, véase, por ejemplo, "Local Fields" de Serre, capítulo 13) .