Como encontrar $\int_0^{2\pi} \frac{dt}{1+2\cos(t)}$

Question

El problema es$$\int_0^{2\pi} \frac{dt}{1+2\cos(t)}.$ $ Sé que es igual a$$\int\limits_{|z|=1}\frac{2dz}{i(1+z)^2}$ $ pero no sé cómo debo calcular la última integral.

Answer 1

Sugerencia: $$ \int\frac{\mathrm{d}z}{i(1+z)^2}=\frac i{1+z}+C $$

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Como se sugiere en un comentario, la Sustitución de Weierstrass es a menudo útil en las integrales tales como el original. $$ \begin{align} \sin(t)&=\frac{2z}{1+z^2}\\ \cos(t)&=\frac{1-z^2}{1+z^2}\\ \mathrm{d}t&=\frac{2\,\mathrm{d}z}{1+z^2} \end{align} $$

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Ajustado Sugerencia:

Como señala Américo Tavares, $$ \begin{align} \int_0^{2\pi}\frac{\mathrm{d}t}{1+2\cos(t)} &=\int_0^{2\pi}\frac{\mathrm{d}t}{1+e^{it}+e^{-it}}\\ &=\int_0^{2\pi}\frac{e^{it}\,\mathrm{d}t}{e^{2it}+e^{it}+1}\\ &=\oint\frac{-i\,\mathrm{d}z}{z^2+z+1}\\ &=\oint\frac1{\sqrt3}\left(\frac1{z-\omega^2}-\frac1{z-\omega}\right)\,\mathrm{d}z \end{align} $$ donde $\omega=\frac{-1+i\sqrt3}{2}$.

Ya que la suma de los residuos en $\omega^2$ e $\omega$ es $0$, si tomamos una rama de corte entre el $\omega$ e $\omega^2$, podemos definir $$ f(z)=\frac1{\sqrt3}\log\left(\frac{z-\omega^2}{z-\omega}\right) $$ sobre el resto de la $\mathbb{C}$, y $f'(z)=\dfrac1{\sqrt3}\left(\dfrac1{z-\omega^2}-\dfrac1{z-\omega}\right)$. $f$ funciona de la misma como $\dfrac{i}{1+z}$ en mi anterior sugerencia.

Answer 2

Si usted escribe $$ \begin{equation*} z=e^{it}\qquad \left( 0\leq t\leq 2\pi \right), \end{ecuación*} $$

desde $$ \begin{equation*} \cos t=\frac{z+z^{-1}}{2},\qquad dt=\frac{dz}{iz}, \end{ecuación*} $$

la integral tiene la forma $$ \begin{eqnarray*} \int\limits_{|z|=1}\left( \frac{1}{1+2\frac{z+z^{-1}}{2}} \right) \frac{1}{iz}dz &=&\int\limits_{|z|=1}\frac{1}{i}\times \frac{1}{z^{2}+z+1}dz \\ &=&\int\limits_{|z|=1}\frac{dz}{i\left( z+\frac{1-i\sqrt{3}}{2} \right) \left( z+\frac{1+i\sqrt{3}}{2}\right) } \end{eqnarray*} $$ y no

$$\int\limits_{|z|=1}\frac{2dz}{i(1+z)^2}.$$

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Desde $\cos \frac{2\pi }{3}=\cos \frac{4\pi }{3}=-\frac{1}{2}$, por lo tanto $1+2\cos \frac{2\pi }{3}=1+\cos \frac{4\pi }{3}=0$, la integral dada tiene singularidades en $t\in\{\frac{2\pi, }{3},\frac{4\pi }{3}\}$. Por lo tanto, que se dividió de la siguiente manera: $$ \begin{equation*} \int_{0}^{\frac{2\pi }{3}}\frac{dt}{1+2\cos t}+\int_{\frac{2\pi }{3}}^{\frac{4\pi }{3}}\frac{dt}{1+2\cos t}+\int_{\frac{4\pi }{3}}^{2\pi }\frac{dt}{1+2\cos t}. \end{ecuación*} $$

Cada integrante es una divergente integral impropia de segunda especie. Mediante la sustitución de Weirstrass$^1$ $x=\tan \frac{t}{2}$, por ejemplo, la primera integral se convierte en

$$ \begin{eqnarray*} I_{1} &=&\int_{0}^{\frac{2\pi }{3}}\frac{1}{1+2\cos t}dt,\qquad x=\tan \frac{t}{2} \\ &=&\int_{0}^{\sqrt{3}}\frac{2}{\left( 1+2\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}\right) \left( 1+x^{2}\right) }\,dx \\ &=&\int_{0}^{\sqrt{3}}\frac{2}{3-x^{2}}\,dx,\qquad x=\sqrt{3}u \\ &=&\frac{2\sqrt{3}}{3}\int_{0}^{1}\frac{1}{1-u^{2}}\,du \\ &=&\left. \frac{2\sqrt{3}}{3}\operatorname{arctanh}u\right\vert _{0}^{1}=\infty . \end{eqnarray*} $$

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$^1$ La sustitución de Weierstrass es un estándar universal de sustitución para evaluar una integral de una fracción racional en $\sin t,\cos t$, es decir, una fracción racional de la forma

$$R(\sin t,\cos t)=\frac{P(\sin t,\cos t)}{Q(\sin t,\cos t)},$$

donde $P,Q$ son polinomios en $\sin t,\cos t$

$$ \begin{equation*} \tan \frac{t }{2}=x,\qquad t =2\arctan x,\qquad dt =\frac{2}{1+x^{2}}dx \end{ecuación*}, $$

que convierte el integrando en una función racional en $x$. Sabemos de la trigonometría (ver esta respuesta) que

$$\cos t =\frac{1-\bronceado ^{2}\frac{t }{2}}{1+\bronceado ^{2}\frac{ t}{2}}=\frac{1-x^2}{1+x^2},\qquad \sen t =\frac{2\tan \frac{t }{2}}{1+\bronceado ^{2} \frac{t }{2}}=\frac{2x}{1+x^2}.$$

Answer 3

Abierto como $\cos(t)$,

El denominador de su integral se convierte entonces en$1-2\sin^2(t/2)$.
Multiplica$3-4\sin^2(t/2)$ en el numerador y el denominador.
Tu integrando se convierte entonces en$\sec^2(t/2)$
Sustituir,$\frac{\sec^2(t/2)}{3\sec^2(t/2)-4\tan^2(t/2)}$
Su integrando ahora se modifica a (ignorando las constantes),$z=\tan(t/2)$, que es de forma conocida y se puede resolver utilizando numerosos métodos (uno de ellos son fracciones parciales)

Answer 4

Primero, tenga en cuenta que, la integral original es una integral impropia, ya que el integrando tiene singularidades en el intervalo de integración$[0,2\pi]$. A saber,$t=\frac{2}{3}\pi$ y$\frac{4}{3}\pi$. Puedes encontrar estas singularidades resolviendo la ecuación.

PS

Entonces, debes saber cómo manejar esta integral. Aquí está el valor de la integral indefinida

PS

Para la integral compleja, puedes ver que tienes un polo en el camino de la integración como señalé en mi comentario.