¿Movimiento browniano, variación cuadrática, existencia de particiones?

Question

Deje que$A_t$ sea un movimiento browniano estándar. ¿Dónde puedo encontrar una referencia a / puedo alguien proporcionar una prueba del hecho de que con probabilidad$1$ existe una secuencia de particiones$\{t_{k, n} : k = 1, \dots, k_n\}$ $$0 = t_{0, n} < t_{1, n} < \dots < t_{k_n, n} = 1,$ $with$ $\lim_{n \to \infty} \max \{t_{j, n} - t_{j - 1, n} : j = 1, \dots, k_n\} = 0$ $and$ $\liminf_{ n \to \infty} \sum_{j=1}^{k_n} (A(t_{j, n}) - A(t_{j-1, n}))^2 > 1?$$ ¿Todas las fuentes que he estado viendo acaban de suponer la existencia de esta secuencia? No me queda muy claro cómo está claro.

¡Gracias por adelantado!

Answer 1

Eche un vistazo aquí: SJ Taylor, "Estimaciones asintóticas exactas de la variación de la trayectoria browniana", Duke Math. J. vol. 39 (1972), pp. 219–241.