Declaraciones equivalente del axioma de elección

Question

Como un pequeño proyecto para mí esto de las vacaciones de invierno, estoy tratando de ir a través de mucho de Enderton Elementos de la Teoría de conjuntos como puedo. Me golpeó con un inconveniente tratando de mostrar dos formas de que el Axioma de Elección son equivalentes. Este es el ejercicio 31 en la página 55.

La primera forma es:

Para cualquier relación $R$ hay una función de $G\subseteq R$$\text{dom}\ G=\text{dom}\ R$.

y la segunda forma es:

Para cualquier conjunto a $I$ y cualquier función de $H$ dominio $I$ si $H(i)\neq\emptyset$ todos los $i\in I$,$\times_{i\in I}H(i)\neq\emptyset$.

Aquí es lo que tengo hasta ahora:

Suponer que la primera forma. Tomar cualquier conjunto $I$ y deje $H$ ser una función con dominio de $I$ tal que $H(i)\neq\emptyset$ todos los $i\in I$. Esta función $H$ es una relación, así que por el Axioma de Elección, existe una función de $G\subseteq H$ tal que $\text{dom}\ G=\text{dom}\ H=I$. Desde $\text{dom}\ G=I$, para cada una de las $i\in I$, existe alguna $G(i)$ tal que $(i,G(i))\in G$. Pero ya $G\subseteq H$, $(i,G(i))=(j,H(j))$ para algunos $j\in I$. Ya que estos son los pares ordenados, $i=j$$G(i)=H(j)$? Supongo que quiero ser capaz de demostrar que para todos los $i\in I$, puedo tener $G$ "elegir" algún elemento $G(i)\in H(i)$, y por lo tanto $G\in\times_{i\in I}H(i)$, mostrando que el $\times_{i\in I}H(i)\neq\emptyset$, pero no veo cómo la primera forma permite hacer eso. En su lugar, todo lo que veo es que el $G(i)=H(i)$.

Por el contrario, supongo que la segunda forma. Puedo tomar cualquier relación $R$, y denotan $\text{dom}\ R=I$. Deje $H$ ser cualquier función con dominio de $I$. Ahora si $H(i)\neq\emptyset$ todos los $i$,$\times_{i\in I}H(i)\neq\emptyset$, entonces yo podría tomar algún $f\in\times_{i\in I}H(i)$, por tanto, por definición, $\text{dom} f=I$, y para todos los $i$, $f(i)\in H(i)$. Si es el caso de que $(i,H(i))\in R$,$f\subseteq R$, y la primera forma sería probada. De nuevo, supongo que yo desee $H$ a ser una función que, para cada $i\in I$, $H$ toma el valor de exactamente un $y_i$ tal que $iRy_i$, pero de nuevo, no veo cómo el supuesto axioma permite hacer esto.

¿Alguien puede explicar cómo conseguir alrededor de estas dos cuestiones? Gracias.

Answer 1

La clave en este tipo de pruebas es encontrar una particular instancia de la proposición usted está asumiendo que producirá el que usted desea. Así que con el fin de demostrar la segunda forma de la primera, comienza con $I$$H$, y quiere "cocinar" algo de $R$ para que el $G$ va a producir lo que desea. Y a la inversa.

Usted está en el camino correcto, pero el problema es que usted está tratando de aplicar cada formulario para la información de los otros, en vez de cocinar un conjunto adecuado para aplicar la "otra" forma en cada caso. Por ejemplo, en su segunda prueba, usted no debe tomar $H$ a cualquier función, usted quiere cocinar una determinada función.

Ahora, antes de que en realidad demostrar que son equivalentes, vamos a pensar acerca de ellos. Intuitivamente, ¿por qué estos dos "ser" el Axioma de Elección? En una relación, cada elemento en el dominio está asociado a muchos elementos en el codominio. Ser capaz de encontrar una función de "contenidos" en la relación es como, para cada una de las $x$ en el dominio, escoger un elemento de cada una de las cosas que están asociados a $x$ a ser la imagen de $x$. Este es el Axioma de Elección (a recoger uno de los elementos de cada colección de "cosas relacionadas con $i$"$i\in I$). En cuanto a la segunda, un elemento de $\mathop{\times}\limits_{i\in I}H(i)$ es una función de $I$ $\cup H(i)$de manera tal que la imagen de $i$ $H(i)$ por cada $i$; de nuevo, una selección de elementos de una familia de conjuntos, de nuevo la Elección. Saber cómo cada uno de ellos se refiere a la AC, y por lo tanto a cada uno de los otros, debe ayudarle a averiguar cómo mostrar la equivalencia: después de todo, que la equivalencia debe ser uno en el que el particular "elección" que una forma que te permite hacer es exactamente la "elección" que de la otra forma requiere que usted haga.

Para obtener más explícito sugerencias:

En su intento de mostrar la primera implica la segunda, que se centran en la cosa equivocada; no quiero ver el $H$ como una relación, porque entonces usted tendrá $G=H$ ($H$ es ya una función). En su lugar, definir una relación $R\subseteq I\times \cup H(i)$ $(i,x)$ si y sólo si $x\in H(i)$. (Es decir, $H(i)$ es un conjunto no vacío para cada una de las $i$; asociado con cada una de las $i$ todos los elementos en $H(i)$). Ahora el uso de la primera forma con $R$, no con $H$, debido a que el $G$ debe darle un elemento del producto (pensar en ellos como se describió anteriormente).

Para el segundo, asumir que $R$ es una relación, y desea definir una función contenida en $R$ con el mismo dominio. Deje $I$ ser el dominio de $R$, y para cada una de las $i\in I$, vamos a $H(i) = \{ x\in\mathrm{codom}(R)\mid iRx\}$. Utilice el hecho de que el producto es no vacío para elegir un elemento en el producto (que "recoge" un elemento de cada uno de los conjuntos de "cosas relacionadas con $i$") y el uso que para definir la función de $G$.

Answer 2

Suponer que la primera forma. Deje $I$ ser cualquier conjunto y deje $H$ ser cualquier función tal que $\text{dom}\ H=I$, e $H(i)\neq\emptyset$ todos los $i\in I$. Definir una relación $R\subseteq I\times\bigcup_{i\in I}H(i)$ por $$ \langle i,x\rangle\R\Leftrightarrow x\in H(i). $$ Por supuesto, existe una función de $G\subseteq R$$\text{dom}\ G=\text{dom}\ R=I$, como para cada uno de $i\in I$, $i\in\text{dom}\ R$ desde $H(i)$ es no vacío. Así que para todos los $\langle i,G(i)\rangle\in G$, $\langle i,G(i)\rangle\in R$, y así, por la definición de $R$, $G(i)\in H(i)$. De ello se desprende que $G\in\prod_{i\in I}H(i)$, lo $\prod_{i\in I}H(i)\neq\emptyset$. Así, la segunda forma es la continuación de la primera.

Por el contrario, vamos a $R$ ser de cualquier relación, y denotan $\text{dom}\ R=I$. Definir una función $$ H\colon I\a\mathscr{P}(\text{ran}\ I)\colon i\mapsto H(i):=\{x\in\text{ran}\ R\ |\ iRx\}. $$ En particular, $H$ es una función con dominio de $I$, e $H(i)\neq\emptyset$ todos los $i\in I$. Así que por el segundo formulario, $\prod_{i\in I}H(i)\neq\emptyset$, así que tome $G\in\prod_{i\in I}H(i)$. Por lo tanto $\text{dom}\ G=I$, y para todos los $i\in I$, $G(i)\in H(i)$. También, para cualquier $\langle i,G(i)\rangle\in G$, $G(i)\in H(i)\subseteq\text{ran}\ R$, y por lo $\langle i,G(i)\rangle\in R$, lo $G\subseteq R$. Por eso, las dos declaraciones de el Axioma de Elección son equivalentes.