Por que es

Question

Tengo que mostrar que$\left(\mathbb{Z}_{51}\right)^* \cong \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_{16}$.

Sé que$\mathbb{Z}_{51}\cong\mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_{17}$ y que$(\mathbb{Z}_p)^*\cong \mathbb{Z}_{p-1}$, pero tiene ese$(\mathbb{Z}_p \times \mathbb{Z}_{q})^*\cong \mathbb{Z}_p^* \times \mathbb{Z}_{q}^*$

Si no, ¿cómo lo probaría?

Answer 1

Si$A$ y$B$ son dos anillos diferentes, entonces$(A\times B)^*$ es efectivamente isomorfo para$A^*\times B^*$, a través del mapa de identidad canónico.

$i)$ Si$(a,b)\in A\times B$ es invertible, existe$(c,d)\in A\times B$ tal que$(a,b)(c,d)=(1,1)$. Esto implica que$ac=1$ en$A$ y$bd=1$ en$B$. Por lo tanto,$(a,b)\in A^*\times B^*$.

$ii)$ Si$(a,b)\in A^*\times B^*$, entonces$a\in A^*$ y$b\in B^*$, lo que implica la existencia de$(c,d)\in A\times B$ con$(a,b)(c,d)=(1,1)$.