encontrar x+y si $ (x+\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})=42 $ ?

Question

Dejemos que $ (x+\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})=42 $ .

Cómo encontrar $x+y$ ? Lo he intentado de varias maneras.

Answer 1

Llamemos a $\alpha$ el valor de $x+\sqrt{x^2+1}$ y $\beta$ el valor de $y+\sqrt{y^2+1}$

Entonces sabemos que $x=\dfrac{\alpha^2-1}{2\alpha}$ y $y=\dfrac{\beta^2-1}{2\beta}$

También sabemos que $\alpha\beta=42$

Por lo tanto, $x+y=\dfrac{\alpha^2-1}{2\alpha}+\dfrac{\beta^2-1}{2\beta}=\dfrac{(\alpha\beta-1)(\alpha+\beta)}{2\alpha\beta}$

$x+y=\dfrac{41}{84}\times(\alpha+\beta)=\dfrac{41}{84}\times(\dfrac{42}{\beta}+\beta)$

$x+y$ puede tomar muchos valores diferentes

Answer 2

No hay un solo valor posible para $x + y$ que podemos ver de la siguiente manera. Sea $a = x + \sqrt{x^2 + 1}$ y $b = y + \sqrt{y^2 + 1}$ . Entonces ${1 \over a} = -x + \sqrt{x^2 + 1}$ y ${1 \over b} = -y + \sqrt{y^2 + 1}$ . Como resultado tenemos $$x + y = {1 \over 2}\bigg(a - {1 \over a}\bigg) + {1 \over 2}\bigg(b - {1 \over b}\bigg)$$ $$= {1 \over 2}\bigg({a^2 - 1 \over a}\bigg) + {1 \over 2}\bigg({b^2 - 1 \over b}\bigg)$$ $$= {1 \over 2}{a^2b + ab^2 - a - b \over ab}$$ $$= {1 \over 2}{(ab - 1)(a + b) \over ab}$$ La condición dada es que $ab = 42$ así que esto es lo mismo que $$ {41 \over 84} (a + b)$$ Por lo tanto, si $x+ y$ está determinada de forma única, $a + b$ también debe determinarse de forma única. Pero todo lo que se nos da es que $ab = 42$ y hay muchos pares $(a,b)$ que satisfacen $ab = 42$ cada uno de los cuales tendrá un valor diferente para $a + b$ . Desde $z \rightarrow z + \sqrt{z^2 + 1}$ es monótona con rango $[1,\infty)$ Cada uno de estos $(a,b)$ con $a,b \geq 1$ corresponderá a algún valor de $x$ y $y$ .

Por lo tanto, no hay una sola respuesta a su pregunta.

Answer 3

Si $x=0$ el primer paréntesis es $1$ , por lo que el segundo tiene que ser $42$ WA dice que eso significa $y=\frac{1763}{84}\approx 20{,}988$ .

Si $x=1$ el primer paréntesis es $1+\sqrt2$ , por lo que el segundo tiene que ser $\frac{42}{1+\sqrt2}$ WA dice que eso significa $y=\frac{1}{84}(1763\sqrt2-1765)\approx 8{,}6697$ .

$x+y$ no suma lo mismo en estos dos casos, por lo que el problema no está bien definido.