Resolviendo

Question

tengo una pregunta

muestra que$x^4- y^4 = z^2$ no tiene una solución no trivial donde$x$,$y$ y$z$ son enteros distintos de cero

Intenté el descenso infinito para encontrar una solución, pero no pude encontrarla. el cuadrado de un número en el mod 4 es 1 o 0 También intenté usarlo pero no conseguí nada.

¿Puede usted ayudar? Gracias

Answer 1

Supongamos $z^2=y^4-x^4$ con $xyz\not=0$ por el menor valor posible de $z^2$. Primero debemos reescribir la ecuación de $y^4=x^4+z^2$, de modo que $\{z,x^2,y^2\}$ es una terna Pitagórica. Debe ser primitivo, ya que si algunos prime $p$ divide $\gcd(x^2,y^2)$, luego $p\,|\,y^2$ implica $p\,|\,y$, lo que da $p^4\,|\,y^4$. Del mismo modo, $p^4\,|\,x^4$, lo $p^4\,|\,z^2$. Esto implica $p^2\,|\,z$, por lo que $\left({y/p}\right)^4-\left({x/p}\right)^4=\left({z/p^2}\right)^2$ es una solución más pequeña.

La terna Pitagórica $z,x^2,y^2$ es primitivo y hay dos casos:

Si $x$ es par, entonces para algunos $m>n$, $(m,n)=1$, y $m\not\equiv n \pmod2$ hemos $$ z=m^2-n^2,\quad x^2=2mn,\quad y^2=m^2+n^2.$$ Desde $m,n$ han opuesto a la paridad, podemos dejar que la $o$ denotar el número impar y $e$ el número entre $\{m,n\}$. La terna Pitagórica primitiva $\{n,m,y\}$ da $$o=t^2-s^2,\quad e=2st,\quad y=t^2+s^2,$$ para algunos $t>s$, $(t,s)=1$, y $t\not\equiv s\pmod2$. La fórmula para $x^2$ ahora da $$(x/2)^2=ts(t^2-s^2)$$, que expresa el producto de tres números primos como un cuadrado. Esto significa que todos los tres de ellos son cuadrados: $s=u^2$, $t=v^2$, y $t^2-s^2=w^2$. En otras palabras, $v^4-u^4=w^2$ es otro la solución a la ecuación, y es menor, ya que $v^4<t^2+s^2=y\leq y^4$.

Si $x$ es impar, entonces para algunos $m>n$, $(m,n)=1$, y $m\not\equiv n\pmod2$ hemos $$ x^2=m^2-n^2,\quad z=2mn,\quad y^2=m^2+n^2.$$ En este caso, $m^4-n^4=(xy)^2$ es una solución más pequeña, ya que $m^4<(m^2+n^2)^2=y^4$.