Deje que$(I:J)$ denote el ideal de colon (o cociente ideal ). Es bastante claro que el cierre de Zariski de$Z(I)-Z(J)$ está contenido en$Z(I:J)$. ¿Cómo podemos probar que el cierre de Zariski de$Z(I)-Z(J)$ es precisamente$Z(I:J)$?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Cass
Puntos
1396
Re: Último Comentario: Sí, es verdad entonces.
Si $I$ es radical, luego por los de primaria descomposición (válido para cualquier noetherian anillo, en particular, un polinomio de anillo), tenemos $I = \cap_i p_i$ para un número finito de números primos $p_i$. A continuación, $Z(I) - Z(J) =\cup_i (Z(p_i)-Z(J))$. Por lo tanto,
$Closure(Z(I)-Z(J))=\cup_i Closure(Z(p_i)-Z(J))$.
Desde ideal cociente desplazamientos con intersección en el primer factor, que hemos
$Z(I:J)=Z(\cap_i (p_i:J))=\cup_i(Z(p_i:J))$
Por lo que es suficiente para demostrar el caso de que $I=p$ es primo.
Esto es fácil. Tenemos dos casos, (i) $J\subset p$, (ii) no es $x \in J$ no $p$. Para el caso (i), tenga en cuenta que $(p:J)=A$ lo $Z(p:J)=\emptyset$. También, desde la $J \subset p$, tenemos $Z(I)-Z(J)=\emptyset$ y que se encarga de (i). Para (ii), ya que $p$ es primo, $yJ \subset p$ sólo si $yx \in p$ sólo si $y \in p$. Por lo $(p:J)=p$ e $Z(p:J)=Z(p)$. Por otra parte, desde la $J$ no contiene $p$, la $Z(p)-Z(J)$ es un subconjunto abierto de un conjunto irreducible $Z(p)$. Por lo tanto, su cierre es de $Z(p)$, como se desee.
Por cierto, no tenía la necesidad de nullstellensatz ni nada de eso. Todo lo que necesitaba era que el ambiente anillo de ser noetherian y el ideal del yo, para ser radical.
Acantilados: La cantidad de $Closure (Z(I)-Z(J))$ geométricamente consta de los componentes de $Z(I)$ menos de las previstas en $Z(J)$. El ideal cociente $(I:J)$ es de los principales componentes de $I$ (que, al $I$ es radical, corresponden bijectively a la irreductible componentes de $Z(I)$) y convierte a todos los componentes principales en común con (o que contengan esos de) $J$ a $1$ y deja a los demás solo. Así, tomando los $Z$, se obtiene el conjunto anterior.
