Problema de Neumann para la ecuación de Laplace en bolas usando la función verde

Question

Es bien sabido que para el problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace en bolas o la mitad de espacio, podríamos utilizar la función de green para la construcción de una solución basada en el límite de datos. Por ejemplo, se podría encontrar una buena prueba en Evans PDE libro, en el capítulo 2.2, se llama la fórmula de Poisson.

Ahora, se viene a mi atención que podríamos estudiar el problema de Neumann para la ecuación de Laplace en Bolas o de media en el espacio utilizando el mismo método? es decir, tratar de encontrar el correspondiente Verde funciones y escribir la fórmula de Poisson como para el problema de Dirichlet. He trabajado fuera el caso para la mitad de espacio, pero me encuentro con dificultades en bolas caso.

Por ejemplo, estamos tratando de resolver \begin{cases} -\Delta u =0 &x\in B(0,1)\\ \partial_\gamma u =g &x\in \partial B(0,1) \end{casos}

También sabemos que tenemos que requieren tal que $\int_B g=0$ a fin de resolver la ecuación, y creo que esta instancia tiene algo que hacer para escribir la fórmula de Poisson, pero realmente no lo entiendo...

Yo creo que este problema ha sido bien estudiado, pero no puedo encontrar en línea.... Por lo tanto, si usted sabe la respuesta, por favor, acaba de escribir realizado por la distribución de Poisson con la fórmula de bolas de caso para Neumann problema, o amablemente directamente me donde puedo encontrar una solución.

Por cierto, aquí es lo que he encontrado por la mitad de espacio en caso de

Answer 1

En un halfspace, la construcción de Neumann-Verde función de los beneficios de la reflexión similar a la construcción de Dirichlet-función de Green; la diferencia es que uno utiliza incluso la reflexión en lugar de extraña reflexión, logrando cero de la derivada en lugar de valor cero. Así, en $n\ge 3$ dimensiones de la función es (de acuerdo a una convención) $$G(x;y) = -\frac{c_n}{|x-y|^{n-2}}-\frac{c_n}{|x-\xi|^{n-2}}$$ donde $\xi$ es el reflejo de $y$ en el límite de la halfspace.

En un almacén de dominio como una pelota, Neumann-función de Green se tiene que definir un poco diferente de la de Dirichlet-función de Green, porque habiendo $\Delta_x G(x;y)=\delta_y$ es incompatible con la condición de frontera de Neumann. En su lugar, el requisito de que el Laplaciano es $$\Delta_x G(x;y)=\delta_y-k,\quad \text{ where } \ k=|\Omega|^{-1}\tag{1}$$ Some authors prefer to put Laplacian on the second variable here; but when normalized by condition $\int G(x,y)\,dx=0$, la función es simétrica.

El requisito (1) hace que la integral de la $\int_\Omega \Delta_x G(x;y)\,dx$ igual a cero, lo cual es consistente con la condición de contorno $\frac{\partial }{\partial n_x}G(x;y)=0$ a $\partial\Omega$. Tenga en cuenta que el uso de Neumann-función de Green no está afectado por esta $-k$; dado razonable de la función de $f$ con $\int_\Omega f=0$, podemos resolver el problema de Neumann para la ecuación de Poisson $\Delta u=f$ como $$ u(x)=\int_\Omega G(x;y) f(y)\,dy $$ desde $$\Delta u(x)=\int_\Omega \Delta_x G(x;y) f(y)\,dy = f(x)- \int_\Omega k f(y)\,dy = f(x)$$

Explícito fórmulas

La singular parte del Laplaciano en (1) es aportado por la solución fundamental; la parte constante puede ser aportado por un polinomio cuadrático. La parte difícil es encontrar una función armónica para cancelar la normal de derivados. Un paso hacia la búsqueda es para llevar a cabo incluso la reflexión como para la mitad de plano, en dos dimensiones, esto es suficiente, pero en tres dimensiones que uno necesita corrección adicional.

En el libro de Ecuaciones Diferenciales Parciales por Emmanuele DiBenedetto, páginas 106-107, se pueden encontrar las siguientes fórmulas para $G(x;y)$ en la bola de radio $R$. (NB: DiBenedetto utiliza la convención de $\Delta_y G(x;y)=-\delta_x+k$.)

Dos dimensiones $$G(x;y) = -\frac{1}{2\pi}\left( \ln|\xi-y|\frac{|x|}{R} +\ln|x-y|\right) - \frac{1}{4\pi R^2} |y|^2$$

donde $\xi=\frac{R^2}{|x|^2}x$ es el reflejo de $x$ a través de la frontera de la bola.

Tres dimensiones

$$G(x;y) = \frac{1}{4\pi}\left( \frac{1}{|x-y|} + \frac{R}{|x|} \frac{1}{|\xi-y|}\right) + \frac{1}{4\pi}\ln\left( (\xi-y)\cdot \frac{x}{|x|} +|\xi-s|\right) -\frac{1}{8\pi R^3} |s|^2 $$

A diferencia de la de Dirichlet caso, el autor no da una fórmula para $n$ dimensiones, lo que sugiere que no hay una manera simple.