¿Cuánta área en un cuadrado unitario no está cubierta por$k$ discos del área$1/k$ centrado en puntos aleatorios dentro del cuadrado?

Question

1. Pintar un $1\times 1$ cuadrado en azul.

2. Tome $k$ puntos de forma aleatoria y uniforme de la plaza.

3. Pintar $k$ discos de área $1/k$ centrado en cada punto rojo.

Lo que se espera que el resto de zona azul?

Nota: la suma de las áreas de los discos es $k\cdot 1/k=1$, la misma que el área de la plaza, pero tenemos que dar cuenta de:

1. Los discos que se cruzan.
2. Los discos de la intersección de la fuera de la plaza.

Answer 1

Un enfoque ingenuo que va a estar cerca de un gran $k$ es decir un punto de ha $\frac {k-1}k$ de probabilidades de no estar cubierto por un disco, por lo $\left(\frac{k-1}k\right)^k$ de probabilidades de no estar cubierto en todo. El límite en un gran $k$ es que el $\frac 1e$ no está cubierto. Esto no es del todo correcto como puntos cerca del borde tienen menor probabilidad de estar cubierto. Los puntos de esquina sólo pueden ser cubiertos si el centro del disco se encuentra en un área de $\frac 1{4k}$ lo que la probabilidad de cobertura de un disco es de $\frac {4k-1}{4k}$. Subir a la $k$ poder tiene un límite de $e^{-1/4}\approx 0.7788$ de no ser cubiertos. Los puntos secundarios tienen una probabilidad de $e^{-1/2}$, pero el área de reducción de la probabilidad de cobertura se vuelve pequeña como $k$ se hace grande.

Answer 2

Aquí hay un código C que usa OpenGL para estimar numéricamente. Y una gráfica de los resultados (representé diferentes tamaños de imagen para tener una idea de qué tan bien se aproxima al valor real). El límite parece estar de acuerdo con la respuesta analítica de Ross.