Cualquier decimal de repetición se puede escribir como una fracción$\frac{a}{b}$ donde$a$ y$b$ son enteros. Pero es lo contrario verdad. ¿Alguna fracción$\frac{a}{b}$ donde$a$ y$b$ son enteros producirá un cociente con un decimal periódico?
Respuestas
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Michael Hardy
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Esta pregunta es confusa. La DEFINICIÓN de "número racional" es un número que es un cociente de dos enteros.
Se puede demostrar que cada repetición decimal es racional y todo número racional es la repetición de una decimal. Pero: NO creo que "la repetición (o terminar) decimal" es la definición de número racional. Ningún matemático hace que.
La respuesta es "sí", porque el principio del palomar. Decir, por ejemplo, se divide $5$ por $82$:
$$ \begin{array}{cccccccccccccc} & & 0 & . & 6 & 0 & 9 & 7 & 5 & \\[10pt] 82 & ) & 5 & . & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ & & 4 & & 9 & 2 \\ \\ & & & & & 8 & 0 \\ & & & & & & 0 \\ \\ & & & & & 8 & 0 & 0 \\ & & & & & 7 & 3 & 8 \\ \\ & & & & & & 6 & 2 & 0 \\ & & & & & & 5 & 7 & 4 \\ \\ & & & & & & & 4 & 6 & 0 \\ & & & & & & & 4 & 1 & 0 \\ \\ & & & & & & & & 5 & 0 & 0 & \longleftarrow\text{ return to starting point}\\ \end{array} $$ (Partimos de la pregunta ¿cuántas veces $82$ va a $500$ y le dijo $6$. Ahora estamos de nuevo ante la pregunta de cómo muchas veces $82$ va a $500$, y la respuesta es todavía $6$.)
¿Cómo sabes que eventualmente regresar al punto de partida, y por lo tanto iniciar la repetición? La respuesta es: el principio del palomar. Thare son sólo 82 posibles restos: $0,1,2,3,\ldots, 81$. Si alguna vez te has $0$, la expansión decimal termina. Pero si nunca te $0$, usted no puede ir más de $81$ pasos sin llegar a un resto que hemos visto antes, ya que después de la $81$ los pasos que se han utilizado de todos ellos.
anonymous
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