Números de Stirling del segundo tipo$S (r,k)$: ¿alguna vez se suma más de$r$?

Question

Un número de Stirling del segundo tipo, $S (r,k)$, se define como el número de maneras en que uno puede partición de un $r$-elemento establecido en $k$ subconjuntos.

Considere el siguiente problema:

Ha $r$ distinguibles bolas y $n$ indistinguible de cajas. Si usted se permite colocar las bolas en estas cajas, sin restricciones, de cuántas maneras diferentes de hacerlo hay?

La respuesta es $\sum_{k=1}^{n} S (r,k)$.

Usted bien puede utilizar este modelo para muchos de los problemas de combinatoria.

Me gustaría preguntar si alguien lo ha visto o sabe de un problema donde suma más de $r$, en lugar, es decir, cuando algo como $\sum_{k=i}^{j} S (k,n)$ parece.

Esta a sólo un interés general de que se trate; se acercó en una combinatoria de los métodos de la clase. Muchas gracias por la respuestas y/o comentarios.

Answer 1

En realidad, hay un montón de interesantes usos de la columna sumas de los números de Stirling del segundo tipo $\left\{ n \atop k\right\}$. El ordinario y exponencial en la generación de funciones de ambos tienen buenas formas (mejor que los de la fila de sumas): $$\sum_{n=k}^{\infty} \left\{ n \atop k\right\} x^n = x^k \prod_{j=1}^k \frac{1}{1-jx},$$ $$\sum_{n=k}^{\infty} \left\{ n \atop k\right\} \frac{x^n}{n!} = \frac{(e^x-1)^k}{k!}.$$ Estos pueden ser usados para probar las diversas identidades que implican $\left\{ n \atop k\right\}$.

Multiplicando $\left\{ n \atop k\right\}$ por ciertos otros números interesantes antes de sumar también los rendimientos de algunos de niza identidades, tales como estos: $$\sum_{r=k}^n \binom{n}{r} \left\{ r \atop k\right\} = \left\{ n+1 \atop k+1\right\},$$ $$\sum_{r=k}^n k^{n-r} \left\{ r-1 \atop k-1\right\} = \left\{ n \atop k\right\},$$ $$\sum_{r=k}^n \left[ n \atop r\right] \left\{ r \atop k\right\} = \binom{n}{k} \frac{(n-1)!}{(k-1)!} = L(n,k),$$ donde $L(n,k)$ es un Lah número. (Lah números también se muestran en la respuesta a esta última pregunta: $n$th derivado de la $e^{1/x}$).

La columna de $k$ también se utiliza para convertir recíproca caer factorial potencias $x^{\underline{-k}}$ a los recíproca de los poderes $x^{-n}$ a través de $$x^{\underline{-k}} = \sum_{n=k}^{\infty} (-1)^{n-k} \left\{ n \atop k\right\} \frac{1}{x^n},$$ en una especie de inverso al hecho de que la fila $k$ es usado para convertir las competencias ordinarias $x^n$ a la caída de los poderes $x^{\underline{k}}$.

Una buena referencia es el Capítulo 8 de Charalambides' la Combinatoria Enumerativa.