La secuencia$(a_n)$ se da como$a_1=1, a_{2n} = a_n - 1, a_{2n+1} = a_n + 1$. $a_{2015}=$?

Question

La secuencia$(a_n)$ se da como$a_1=1, a_{2n} = a_n - 1, a_{2n+1} = a_n + 1$. ¿Cuál es el valor de$a_{2015}$

La respuesta correcta debe ser$a_{2015} = 9$. ¿Cómo?

Lo que me vino a la mente fue ver de qué$a_{2015}$ está compuesto. ¿Entonces$a_{2015} = a_{(2*1007 + 1)} = a_{1007} + 1$ porque$a_{2n+1} = a_n + 1$ y que funciona de esa manera?

Mi maestro dijo que me estoy complicando demasiado y estoy de acuerdo, pero ¿qué me falta para resolver esto?

Answer 1

En realidad, cometiste un error al descomponer$a_{2015}$. Debería ser $a_{2015}=a_{2\times 1007+1}=a_{1007}+1$.

Y$a_{1007}=a_{2\times503+1}=a_{503}+1$

$a_{503}=a_{2\times 251+1}=a_{251}+1$

$a_{251}=a_{2\times 125+1}=a_{125}+1$

$a_{125}=a_{2\times 62+1}=a_{62}+1$

$a_{62}=a_{2\times 31+1}=a_{31}-1$

$a_{31}=a_{2\times 15+1}=a_{15}+1$

$a_{15}=a_{2\times 7+1}=a_{7}+1$

$a_{7}=a_{2\times 3+1}=a_{3}+1$

$a_{3}=a_{2\times 1+1}=a_{1}+1$

Asi que, $a_{2015}=a_{1}+1+1+1+1+1+1+1+1+1-1=9$

Answer 2

Pensar sobre el procedimiento que usted tenía en mente. Si la representación binaria de $n$ termina en $1$,, a continuación, $n$ es impar; decir $n=2k+1$. A continuación,$a_n=a_k+1$, y la representación binaria de $k$ es simplemente lo que queda cuando se quita el último dígito de la $n$. Si la representación binaria de $n$ termina en $0$,, a continuación, $n$ es incluso; decir $n=2k$. A continuación,$a_n=a_k-1$, y de nuevo la representación binaria de $k$ es simplemente lo que queda cuando se quita el último dígito de la $n$. Así, podrás agregar $1$ por cada $1$ en la representación binaria de $n$, y vas a restar $1$ por cada $0$.

Escribir $2015$ en binario: es $11111011111$, lo que ha $10$ queridos y $1$ cero, por lo que el proceso resultará en $10$ ganancia de $1$ y una resta, para un total de $9$. (Usted tiene que comprobar que la configuración de $a_1=1$ está de acuerdo con este esquema.)

Este es el acceso directo que su maestro tenía en mente.