Jugando con cierre e interior para obtener el máximo número de sets.

Question

¿Puedes encontrar$A \subset \mathbb R^2$ tal que$A, \overline{A}, \overset{\circ}{A}, \overset{\circ}{\overline{A}}, \overline{\overset{\circ}{A}}$ son todos diferentes?

¿Podemos conseguir aún más sets alternando de nuevo el cierre y el interior?

Answer 1

De acuerdo a Kuratowski del cierre del complemento problema, el monoid generado por el operador complementario $a$ y el cierre de operador $b$ ha $14$ elementos y se presenta por las relaciones $a^2 = 1$, $b^2 = b$ y $(ba)^3b = bab$. Ahora usted está interesado por la submonoid generado por el cierre de operador $b$ , y en el interior operador $i = aba$. Este submonoid sólo ha $7$ elementos: $1$, $b$, $i$, $bi$, $ib$, $bib$ y $ibi$. Usted puede utilizar el ejemplo de Kuratowski $$K = {]0,1[} \cup {]1,2[} \cup \{3\} \cup ([4,5] \cap \mathbb{Q})$$ para generar el $14$ conjuntos y por lo tanto el $7$ define usted está interesado en. Este es un ejemplo en $\mathbb{R}$, pero $K \times \mathbb{R}$ debe trabajar para $\mathbb{R}^2$.

Answer 2

Puedes comenzar mirando$B = [0,1]^2\cap \Bbb Q^2$. En ese caso, $$\ overline B = [0,1] ^ 2 \\ \ overset {\ circ} B = \ emptyset \\ \ overset {\ circ} {\ overline {B}} = (0,1) ^ 2 \\ \ overline {\ overset {\ circ} {B}} = \ emptyset$$ Si deja que$A$ sea la unión de$B$ y, por ejemplo, el cuadrado$[3, 4]^2$, esto le permitiría determinar la diferencia entre$\overset\circ A$ y$\overline{\overset{\circ}{A}}$, ya que este último contiene$(3,3)$ y$(4,4)$, mientras que el primero no.

Answer 3

Bien, dado $A$, sabemos que $\overline A$ no es igual a $A$ siempre $A$ no está cerrado, y nosotros que ${\rm int}\, A\neq A$ siempre $A$ no está abierto (donde ${\rm int}\, A$ es el interior de $A$ en $\mathbb R$). Por lo que estamos buscando es ni abierto ni cerrado.

Ahora, uno puede fácilmente construir un no-abierto, no-conjunto cerrado en el plano. Pero ¿se puede organizar para los otros dos conjuntos a ser diferente?

Nota: la organización de ${\rm int}\, A=\emptyset$ no es suficiente si se requieren $\overline{{\rm int}\, A}\neq{\rm int}\, A$. Por lo que el interior de $A$ debe tener algunas interior.

Te dejo de pensar acerca el final de dos propiedades.