Confusión sobre la definición de función

Question

Ayer hablaba con uno de mis amigos sobre la definición de función. La definición formal de función viene dada por los productos cartesianos, pero la pregunta de mi amigo era si es posible definir una función sin conocer ningún concepto de productos cartesianos.

Para responder a esta pregunta le dije que la definición de una función puede darse definiendo una función $f$ del conjunto $X$ a $Y$ , denotado por $f:X\to Y$ para ser alguna "regla" (la palabra regla siendo un concepto indefinido) que asocia, a cada miembro de $X$ exactamente un elemento de $Y$ .

Pero mi amigo dijo que la definición que utiliza el concepto de "regla" no es rigurosa y que hay ejemplos que no obedecen a la definición pero que siguen siendo una función en el sentido del producto cartesiano.

Mis preguntas son,

1. ¿Por qué la definición de función utilizando conceptos como "regla" no es rigurosa?

2. ¿Existe realmente algún ejemplo que no obedezca a la definición pero que siga siendo una función en el sentido del producto cartesiano?

Answer 1

Hay un informal concepto de "función", que dice que una función es cualquier correspondencia (en sí un término informal) que asigna un valor de salida definido a cada valor de entrada de la función.

Este concepto informal tiene varias formalizaciones, dependiendo del uso preciso que se le dé.

• El concepto de conjunto de una función como conjunto de pares ordenados tal que no hay nada que sea el primer elemento de dos pares diferentes en el conjunto. Tal función tiene un conjunto como su dominio y un conjunto de su rango, y es un subconjunto del producto cartesiano del dominio y el rango.

  Aquí, en particular, no importa de dónde saquemos el conjunto, siempre que satisfaga la condición definitoria. En particular, la teoría de conjuntos Axioma de elección afirma que existe una función con propiedades particulares sin dando algún tipo de "regla" sobre cómo encontrar la salida para una entrada concreta.

La formalización basada en conjuntos es lo suficientemente conveniente y expresiva como para que sea la elección por defecto para formalizar funciones en muchas áreas de las matemáticas, junto con la tendencia general a formalizar todo en teoría de conjuntos. Pero no es la única posible, y en algunas situaciones es más útil una formalización diferente:

• En lógica y áreas afines es común modelar una función simplemente como un símbolo junto con axiomas y ecuaciones que establecen las propiedades que queremos que tenga el símbolo. Por ejemplo, el Aritmética de Peano Los axiomas para los números naturales plantean que existe una función de sucesión y funciones de adición/multiplicación que no se consideran objetos en sí mismos, sino simplemente símbolos que pueden ser manipulados según ciertas reglas. Intuitivamente, hay que pensar que estos símbolos realizan el concepto informal de función.

  Esto no es tan expresivo como el concepto habitual basado en conjuntos, pero es conveniente porque se puede utilizar en entornos en los que se desea evitar depender de la teoría de conjuntos por una u otra razón.

  En la lógica de orden superior, se puede incluso cuantificar sobre este tipo de funciones.

• También en lógica, a veces se considera que una "función" es simplemente una fórmula lógica con dos variables, $\varphi(x,y)$ tal que $\forall x,y,z:\varphi(x,y)\land \varphi(x,z)\to y=z$ es verdadera (o demostrable, según sus necesidades).

  En cierto modo, esto es más fuerte que la formalización habitual, que es necesaria para algunos propósitos dentro de la propia teoría de conjuntos -- por ejemplo, la función de sucesión para los números ordinales puede expresarse como una fórmula pero no es un conjunto en la teoría de conjuntos estándar. Por otro lado, si permitimos parámetros adicionales en $\varphi$ podemos expresar toda función de conjunto, porque $(x,y)\in f$ es una buena fórmula cuando $f$ es un conjunto que representa una función de forma ordinaria.

  En el otros Por otro lado, ver las funciones como fórmulas significa que no se puede cuantificar sobre las funciones (es decir, no se puede decir que tal o cual cosa es válida para todo funciones de un determinado tipo, ni que haya algunos con tal o cual propiedad).

• En cálculo lambda En el ámbito de la informática y áreas relacionadas, el tipo básico de objeto es una función, representada como una expresión real de cómo calcular los valores de la función, envuelta como un objeto matemático por derecho propio.

  Este punto de vista es útil para razonar sobre funciones computables en lugar de las ilimitadas funciones "salvajes" de las que nos permite hablar la visión teórica de conjuntos. Al ser menos expresiva, esta formalización permite un razonamiento más conveniente de ciertos tipos.

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El problema de decir que una función es sólo una "regla" es que el propio término "regla" necesita un significado definido antes de que ese concepto diga algo más que la definición informal de "correspondencia". Por ejemplo, si decimos

$f(n)$ es la longitud en palabras de la frase inglesa más corta que describe $n$ de forma inequívoca.

¿es entonces una "regla"? Si lo es, entonces muy pronto nos encontramos con La paradoja de Berry . Pero si no lo es, hay que responder a la pregunta de qué es exactamente una "regla" válida. Uno puede proponer varias respuestas, por supuesto, pero por su naturaleza tal respuesta llevará a un concepto de función que es algo más que decir simplemente "una regla".

Answer 2

En efecto, se puede definir formalmente una función en términos de productos cartesianos:

Un subconjunto $f$ del producto cartesiano $A\times B$ se dice que es una función que mapea los elementos de $A$ a los elementos $B$ si y sólo si para todo $x\in A$ existe un único $y\in B$ tal que $(x,y)\in f$ .

También se podrían definir formalmente las funciones como un cierto tipo de relación, pero entonces probablemente habría que definir las relaciones en términos de productos cartesianos o algún equivalente, por ejemplo, diagramas de flechas o gráficos.

Si simplemente quiere declarar formalmente que $f$ es una función que mapea los elementos del conjunto $A$ a los elementos del conjunto $B$ Me ha resultado muy útil para escribir:

Para todos $x\in A$ tenemos $f(x)\in B$ .

Así que, para responder a sus preguntas:

1. ¿Por qué la definición de función utilizando conceptos como "regla" no es rigurosa?

Edición: A diferencia de las nociones de productos cartesianos y subconjuntos, la noción de "regla" no está formalmente definida en la teoría de conjuntos y la lógica. No hay axiomas sobre "reglas". Lo más parecido es el criterio de selección de un subconjunto, pero sólo es necesario especificar uno si se trata de un subconjunto concreto.

2. ¿Existe realmente algún ejemplo que no obedezca a la definición pero que siga siendo una función en el sentido del producto cartesiano?

No, pero tal vez su amigo está pensando en la noción de un función parcial que es similar.