sobre el conjunto de real de secuencia con medidor de sup ...

Question

Vamos

$$ X=\{ \{x_n \}_{n=1} ^{ \infty } \mid {x_n } \to 0\ \} $$

donde ${x_n }$ es una verdadera secuencia y poner la métrica $ d(x_n ,y_n)= \sup _{n \in \Bbb {N}} |x_n -y_n|$ a $X$.

Deje $ E=\{ \{x_n \}_{n=1} ^{ \infty } \mid {x_n } \in X, \forall n \in \Bbb {N} \ , x_{n} \geq 0 \} $ ahora cual de las siguientes opciones es verdadera?

1. $E$ no está conectado.

2. $E ^\circ = \emptyset $ .($E ^\circ $ es los puntos del interior de la E)

3. $E ^\prime \neq E $ .($E ^\prime $ es el límite de puntos de E)

4. $E$ no está cerrado.

Creo que el "2" es cierto porque para cada $a\in E , r>0 $ tenemos $B_r(a) \nsubseteq E$ porque si lo dejamos $a= (a_1 ,a_2 ,a_3 ,...)$ existe al menos una $ t <0 , |a_1 -t| < r$ , $b= (t ,a_2 ,a_3 ,...) \in B_r(a) $ . tenga en cuenta que $B_r(a)= \{ x \in X | d(x,a)< r \}$ .

Answer 1

Su afirmación de que para cada $a\in X $ e $r>0$ existe un $t<0$ tal que $|a_1 -t|<r$ no es cierto. Por ejemplo, tome $a_n=\frac{1}{n}$ e $r=\frac{1}{2}$. Claramente, esto no permitan que esos $t$ como se han descrito.

Esto, sin embargo, es bastante cercana a la solución correcta. Tome $a\in E$ e $r>0$. Entonces a partir de la $\lim a_n =0$, tenemos que para algunos $N$, $a_N <\frac{r}{3}$. Deje $a_t\in X$ ser tal que $(a_t)_n=a_n$ para $n\neq N$, e $(a_t)_N = -\frac{r}{3}$. A partir de aquí el resultado de la siguiente manera. Buena intuición.

1 no es cierto ya que para cualquier par de puntos en el espacio,$a,b \in E$, podemos construir un camino continuo entre ellos por $f(t)= ta + (1-t)b$, con el componente sabio de la adición y la multiplicación.

3 es falso, ya que $E$ está conectado y, por tanto, no tiene puntos aislados, y se cierra porque el 4 es verdadera.

4 es falsa, ya que para cualquier $a\in X\setminus E$, existe al menos un $a_n<0$. Por eso, no podemos dejar que $r=|\frac{a_n}{2}|$, y luego se sigue que $B_r(a)\subseteq X\setminus E$.

Answer 2

Aquí están algunos consejos e ideas.

Nº 2 es verdadera, 3 y 4 son falsas.

2:

Esto es porque si $x_{n} \to 0$, entonces se vuelve más pequeño que cualquier fija $\epsilon$. Deje $m$ ser tal que $x_{m} < \epsilon$. A continuación, vamos a $y$ ser una secuencia que es lo mismo que$(x_{n})$, excepto en $m$ donde es $y_{m} = x_{m} - \epsilon$. A continuación, $(y_{n}) \in B((x_{n}), \epsilon)$ pero no se en $E$.

3:

Deje $x \in E$. A continuación, $x = (x_{1}, x_{2}, \ldots )$ con $x_{i} \geq 0$ y la secuencia que va de la a $0$. Vamos a construir una secuencia en $E$ ir $x$.

Deje $y_{1}$ ser la secuencia de $(x_{1} + 1, x_{2}, \ldots)$ e $y_{2} = (x_{1}, x_{2} + 1/2, x_{3}, \ldots)$ y así sucesivamente. A continuación, cada secuencia $y_{j}$ es un elemento de $E$ e $d(x, y_{j}) = 1/j$ y, por tanto,$(y_{j}) \to x$. Por lo tanto, $E \subset E^{\prime}$.

Por el contrario, vamos a $x = (x_{1}, x_{2}, \ldots) \in X$ ser tal que $x_{n} < 0$ para algunos $n$. Entonces uno puede ver con relativa facilidad que existe una orden de $E$ puede converger a $x$ (ya que la distancia tiene que ser menor que el valor de $|x_{n}|$ desde algún punto). Por lo tanto, $E^{\prime} \subset E$.

4:

Esto se desprende de 3. Conjunto de límite de puntos de un conjunto es cerrado y $E$ es igual al conjunto de su límite de puntos.