He tropezado con un problema con la función gamma, voy a mostrar el enfoque de la primera: $$\Gamma(x)=\int_0^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt$$ subtituting $t=ui^2$, se obtiene: $$\Gamma(x)=2\int_0^{\infty}(iu^2)^{x-1}e^{-iu^2}iudu\rightarrow\frac{\Gamma(x)}{2i^x}=\int_0^{\infty}u^{2x-1}e^{-iu^2}du$$ Doing the same thing using $t=-ui^2\,$results in$$\frac{\Gamma(x)}{-2i^x}=\int_0^{\infty}u^{2x-1}e^{iu^2}du$$ Now, summing those two and using that $i^x=e^{\frac{i\pi}{2}x} \,$da $$\frac{\Gamma(x)}{2}(e^{\frac{i\pi}{2}x}+e^{\frac{-i\pi}{2}x})=\int_0^{\infty}u^{2x-1}(e^{iu^2}+e^{-iu^2})du$$ which is just $$\frac{\Gamma(x)}{2}\cos(\frac{\pi}{2}x)=\int_0^{\infty}u^{2x-1}\cos(u^2)du$$ plugging $x=-\frac{1}{2}$ we get that$$\int_0^{\infty}\frac{\cos(x^2)}{x^2}dx=-\sqrt{\frac{\pi}{2}}$$ Well, obviously this integral diverges... But if Instead of summing we subtract we get that $$\frac{\Gamma(x)}{2}\sin(\frac{\pi}{2}x)=\int_0^{\infty}u^{2x-1}\sin(u^2)du$$ simmilarly with $$x=-\frac12 \rightarrow \int_0^{\infty}\frac{\sin(x^2)}{x^2}dx=\sqrt{\frac{\pi}{2}}$$ Así que no es que completamente de basura. Ahora mi pregunta es, ¿qué va mal cuando yo uso la primera sustitución? Y ¿cómo puedo demostrar que soy permitido el uso de este para la sustitución de la integral del seno?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Al realizar un cambio de variables en una integral definida, la integración de los límites de cambio así.
La pregunta ahora es ¿por qué las fórmulas son correctas. El original de la integral converge para $\operatorname{Re} x > 0.$ Cuando además $\operatorname{Re} x < 1$, la integral de $u^{2x-1} \exp(-i u^2)$ sobre el arco de un gran círculo entre el $\arg u = -\pi/4$ e $\arg u = 0$ es insignificante y no tenemos que tomar ninguna singularidades en cuenta, por lo tanto, la integral sobre la $[0, e^{-i \pi/4} \infty)$ es igual a la integral sobre la $[0, \infty)$.
Razonamiento Similar para la segunda integral de la $-$ este tiempo a partir de $[0, e^{i \pi/4} \infty)$ $-$ muestra que tanto el seno y el coseno fórmulas son correctas para $0 < \operatorname{Re} x < 1$.
La integral de $u^{2x-1} \sin(u^2)$ es una analítica de la función en $-1 < \operatorname{Re} x < 1$, y la razón por la que el seno es la formula correcta para $-1 < \operatorname{Re} x < 1$ es la singularidad de continuación analítica.
El coseno fórmula correcta para $x = -1/2$ si elige la regularización de la divergentes integral que coincide con la continuación analítica. Para $-2 < \operatorname{Re} x < 0$, que la regularización es la integral de la $u^{2x-1} (\cos(u^2) - 1)$.
$\small\underline{\text{For}\,\,Re\{s\}\gt0}$ : $$ \Gamma(s)=\int_{0}^{\infty}\frac{x^{s-1}}{e^x}\,dx $$ Sustituto $\{\,x=+it^2\quad\text{&}\quad x=-it^2\,\}$, restar, sumar, y se simplifica para obtener: $$ \begin{align} \frac{\Gamma(s)}{2}\,\sin\left(\frac{\pi}{2}s\right) &=\int_{0}^{\infty}\frac{\sin\left(x^2\right)}{x^{1-2s}}\,dx \\[2mm] \frac{\Gamma(s)}{2}\,\cos\left(\frac{\pi}{2}s\right) &=\int_{0}^{\infty}\frac{\cos\left(x^2\right)}{x^{1-2s}}\,dx \end{align} $$
$\small\underline{\text{For}\,\,-1\lt Re\{s\}\lt0}$ :
$$ \Gamma(s)=\int_{0}^{\infty}x^{s-1}\left(\frac{1}{e^x}\color{red}{-1}\right)\,dx $$
Sustituto $\{\,x=+it^2\quad\text{&}\quad x=-it^2\,\}$, restar, sumar, y se simplifica para obtener:
$$
\begin{align}
\frac{\Gamma(s)}{2}\,\sin\left(\frac{\pi}{2}s\right) &=\int_{0}^{\infty}\frac{\sin\left(x^2\right)}{x^{1-2s}}\,dx \\[2mm]
\frac{\Gamma(s)}{2}\,\cos\left(\frac{\pi}{2}s\right) &=\int_{0}^{\infty}\frac{\cos\left(x^2\right)\color{red}{-1}}{x^{1-2s}}\,dx
\end{align}
$$
$\{\,\color{red}{-1}\,\}$ cancelado el uno del otro en el seno, y agregar uno a otro en coseno.
Sin embargo, no se olvide de volver a calcular los límites de integración cada vez que cambie la integración de la variable.
$$ \small\Gamma(s-N)=\int_0^\infty x^{s-1-N}\,\left[\,\frac1{e^x}-\sum_{n=0}^N (-1)^n\,\frac{x^n}{n!}\,\right]\,dx \quad\colon -1\lt Re\{s\}\lt0,\,\,N\in\{0,\,1,\,2,\,\dots\,\} $$
Qué usted consigue cuando usted sustituto de, digamos, $t=iu$ en un integrante de $$ \int_a^b f(t)\; dt$$ donde $a, b \in \mathbb R$ es una integral sobre una ruta de acceso en el plano complejo $$ i \int_C f(iu)\; du$$ donde $C$ es una ruta que consta de los puntos asignados en el intervalo de $[a,b]$ por la asignación de $u \mapsto iu$.
