¿Cómo puedo probar que $2^n=O(n!)$?

Question

¿Cómo puedo probar que $2^n=O(n!)$?

Es este un argumento válido?

 2<=2,
 2<3,
 2<4,....
 2<n if n>2

 therefore 2.2.2....n times < 1.2. ... n
 so,2^n <n!

Gracias de antemano.

Answer 1

Desde $e^2=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{2^n}{n!}$ converge (mediante la prueba de razón si quieres), el término general tiende a $0$, de donde, en realidad, $ 2^n=o(n!)$ and not only $O(n!)$.

Answer 2

El argumento es muy informal y tiene un pequeño agujero en él, pero la idea básica es correcta. El agujero se encuentra en el hecho de que $2^n$ es en realidad más grande que $n!$ para $n=1,2,3$. Correctamente usted debe demostrar por inducción sobre $n$ que $2^n\le n!$ para $n\ge 4$ y concluir de inmediato que $2^n$ es $O(n!)$.

Answer 3

$$(1)\;\;\text{Look at the positive series}\;\sum_{n=1}^\infty\frac{2^n}{n!}$$

$$(2)\;\;\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{2^n}=\frac2{n+1}\xrightarrow[n\to\infty]{}0 \;,\;\text{thus} $$

$$(3)\;\;\text{The series in (1) converges}$$

$$(4)\;\;a_n=\frac{2^n}{n!}\xrightarrow[n\to\infty]{}0$$

Por tanto, para algunos

$$N\in\Bbb N\;\;\text{and}\;\;\forall n>N\;,\;\;\frac{2^n}{n!}<1\implies 2^n=\mathcal O(n!)$$

Answer 4

Puede utilizar la inducción de $n > 3$.

Suponga $ p(k): 2 ^ k < k!, k > 3 $

Demostrar que $p(k +1 ): 2 ^ {k + 1} < (k + 1)!$

$ 2 ^ {k + 1} = 2 ^ k * 2$

$ (k + 1)! = k! * k$

$ k > 2 \implies 2 ^ {k + 1} < (k + 1)! $