¿Es la derivada parcial un vector o vector dual?

Question

El libro de texto(Introducción a la Teoría Clásica de Partículas y Campos, por Boris Kosyakov) define una hipersuperficie por $$F(x)~=~c,$$ where $F\C^\infty[\mathbb M_4,\mathbb R]$. Differentiating gives $$dF~=~(\partial_\mu F)dx^\mu~=~0.$$ The text then says $dx^\mu$ is a covector and $\partial_\mu F$ a vector. I learnt from another book that $dx^\mu$ are 4 dual vectors(in Minkowski space), $\mu$ indexes dual vector themselves, not components of a single dual vector. So I think $\partial_\mu F$ should also be 4 vectors, each being the directional derivative along a coordinate axis. But this book later states that $(\partial_\mu F)dx^\mu=0$ describes a hyperplane $\Sigma$ with normal $\partial_\mu F$ spanned by vectors $dx^\mu$, and calls $\Sigma$ a tangent plane (page 33-34). This time, it seems to treat $\partial_\mu F$ as a single vector and $dx^\mu$ as vectors. But I think $dx^\mu$ debe abarcar un espacio cotangente.

Necesito un poco de ayuda para aclarar estas cosas.

[editar por Ben Crowell] El siguiente parece ser el texto de la pregunta se refiere a, del Apéndice a (que Amazon me deja ver a través de su mirilla):

Elie Cartan propone la utilización de las diferenciales de las coordenadas de $dx^i$ como una conveniente base de 1-formas. Los diferenciales $dx^i$ transforman como covectors [...] por otra parte, cuando se utiliza en la derivada direccional $dx^i \partial F/\partial x^i$, $dx^i$ puede ser visto como un funcional lineal que toma valores reales de los vectores $\partial F/\partial x^i$. Los elementos de la línea, $dx^i$ [ ... ] 1-formas.

Answer 1

A continuación sigue un puñado de fragmentos de el libro Introducción a la Teoría Clásica de Partículas y Campos (2007) por B. Kosyakov.

Polémica/engañosos o declaraciones erróneas están marcados en $\color{Red}{\rm red}$. Estamos de acuerdo con OP que las declaraciones marcado en $\color{Red}{\rm red}$ son opuestas estándar de terminología y convenciones. Algunos (no todos) la afirmación correcta, están marcados en $\color{Green}{\rm green}$.

1.2 Afín y Métrica de las Estructuras

[...] Vamos a ${\bf e}_1$, $\ldots$, ${\bf e}_n$ y ${\bf e}^{\prime}_1$, $\ldots$, ${\bf e}^{\prime}_n$ dos bases arbitrarias. Cada una de las $\color{Green}{\rm vector}$ de la última base puede ser ampliada en términos de $\color{Green}{\rm vectors}$ de la ex base: $$ {\bf e}^{\prime}_i ~=~ {\bf e}_j~L^j{}_i .\tag{1.37} $$

[...] Por lo tanto, lineal funcionales forman la doble espacio vectorial $V^{\prime}$. Si $V$ $n$- dimensional, por lo que es $V^{\prime}$. De hecho, vamos a ${\bf e}_1$, $\ldots$, ${\bf e}_n$ ser una base en la $V$. Entonces cualquier $\omega\in V^{\prime}$ es especificado por $n$ números reales $\omega_1=\omega({\bf e}_1)$, $\ldots$, $\omega_n=\omega({\bf e}_n)$, y el valor de $\omega$ ${\bf a} = a^i {\bf e}_i$ está dada por $$\omega({\bf a}) ~=~ \omega_i a^i .\tag{1.52} $$ Vemos que $V^{\prime}$ es isomorfo a $V$. Es por eso que a veces nos referimos a lineal funcionales como $\color{Green}{covectors}$. Un vistazo más de cerca (1.52) muestra que un $\color{Green}{\rm vector}$ ${\bf a}$ puede ser considerado como un funcional lineal en $V^{\prime}$. Se puede demostrar que (Problema 1.2.3) que la modificación de la base (1.37) implica la transformación de $\omega_i$, según la misma ley: $$ \omega^{\prime}_i ~=~\omega_j ~L^j{}_i .\tag{1.53} $$ Por lo general, suprimir el argumento de $\omega({\bf a})$, e identificar las $\omega$ con sus componentes $\omega_i$. [...]

1.3 Vectores, Tensores, y $n$Formas de

[...] Una simple generalización de los vectores y covectors son los tensores. Algebraicamente, un tensor $T$ de la fila $\color{Green}{(m,n)}$ es multilineal de asignación de $$\color{Green}{T: \underbrace{V^{\prime} \times\ldots\times V^{\prime}}_{m\text{ times}} \times \underbrace{V \times\ldots\times V}_{n\text{ times}} \to \mathbb{R}}. \tag{1.112} $$ Ya hemos encontrado ejemplos de tensores en la sección anterior: un escalar es un rango de $(0,0)$ tensor, $\color{Green}{\rm vector}$ es un rango de $\color{Green}{(1,0)}$ tensor, $\color{Green}{\rm covector}$ es un rango de $\color{Green}{(0,1)}$ tensor, la métrica $g_{ij}$ es un rango de $(0,2)$, mientras que $g^{ij}$ es un rango de $(2,0)$ tensor, y la delta de Kronecker $\delta^i{}_j$ es un rango de $(1,1)$ tensor. Como $\color{Green}{\rm four~vectors}$ pueden ser considerados como objetos que se transforman de acuerdo a la ley $$ a^{\prime \mu} ~=~ \color{Green}{\Lambda^{\mu}{}_{\nu}} ~a^{\nu} ,\tag{1.113} $$ donde $\Lambda^{\mu}{}_{\nu}$ es la transformación de Lorentz de la matriz de relación de los dos marcos de referencia, de modo que los tensores de rango $(m,n)$ puede ser descrito en términos de Lorentz grupo de representaciones por el requisito de que su transformación ley $$T^{\prime\mu_1\cdots \mu_m}{}_{\nu_1\cdots \nu_n} ~=~\color{Verde}{\Lambda^{\mu_1}{}_{\alpha_1}\ldots\Lambda^{\mu_m}{}_{\alpha_m}}~ T^{\alpha_1\cdots \alpha_m}{}_{\beta_1\cdots \beta_n}~ \color{Red}{\Lambda^{\beta_1}{}_{\nu_1}\ldots\Lambda^{\beta_n}{}_{\nu_n}}. \etiqueta{1.114} $$

[...]El operador diferencial $$ \partial_{\mu}~=~\frac{\partial}{\partial x^{\mu}} \tag{1.140} $$ transforma como un $\color{Green}{\rm covariant~vector}$. Para ver esto, usamos la regla de la cadena para la diferenciación: $$ \frac{\partial}{\partial x^{\mu}}~=~\frac{\partial x^{\prime \nu}}{\partial x^{\mu}} \frac{\partial}{\partial x^{\prime \nu}}, \etiqueta{1.141} $$ y tenga en cuenta que, de lineal a transformaciones de coordenadas $x^{\prime\mu} = \color{Green}{\Lambda^{\mu}{}_{\nu}}~x^{\nu} + a^{\mu}$ $$\frac{\partial x^{\prime \mu}}{\partial x^{\nu}} ~=~\color{Verde}{\Lambda^{\mu}{}_{\nu}}. \etiqueta{1.142} $$ Siempre utilizamos la notación abreviada $\partial_{\mu}$, y el tratamiento de este operador diferencial ordinaria de $\color{Green}{\rm vector}$. [...]

1.4 Líneas y Superficies

[...] La definición de una hipersuperficie $M_{n−1}$ por $$F(x) ~=~ C , \tag{1.176} $$ donde $F$ es arbitraria función suave $\mathbb{M}_4 \to \mathbb{R}$. Diferenciar (1.176) da $$ (\partial_{\mu}F) dx^{\mu} ~=~ 0 . \tag{1.177} $$ Uno puede ver $dx^{\mu}$$\color{Green}{\rm covector}$, e $\partial_{\mu}F$$\color{Red}{\rm vector}$. De hecho, $dx^{\mu}$ transforma como un $\color{Red}{\rm covector}$ bajo lineales transformaciones de coordenadas $x^{\prime\mu} = \color{Green}{\Lambda^{\mu}{}_{\nu}}~x^{\nu} + a^{\mu}$, $$dx^{\prime\mu} ~=~ \frac{\partial x^{\prime\mu}}{\partial x^{\nu}}dx^{\nu} ~=~\color{Verde}{\Lambda^{\mu}{}_{\nu}}~dx^{\nu}, \etiqueta{1.178} $$ y $\partial_{\mu}F$ transforma como un $\color{Red}{\rm vector}$: $$\frac{\partial F}{\partial x^{\prime\mu}} ~=~\frac{\partial F}{\partial x^{\nu}} \frac{\partial x^{\nu}}{\partial x^{\prime\mu}} ~=~\frac{\partial F}{\partial x^{\nu}}\color{Red}{\Lambda^{\nu}{}_{\mu}}. \etiqueta{1.179} $$ En el espacio de Minkowski, vectores y covectors se puede convertir a cada uno de los otros de acuerdo a (1.121). Por esta razón, vamos a menudo consideran la $dx^{\mu}$ como vectores. [...]

A. Formas Diferenciales

[...] Elie Cartan propone la utilización de las diferenciales de las coordenadas de $dx^i$ como una conveniente base de $\color{Green}{\rm one~forms}$. Los diferenciales $dx^i$ transforman como $\color{Red}{\rm covectors}$ bajo un cambio de coordenadas local, $$dx^{\prime j}~=~ \frac{\partial x^{\prime j}}{\partial x^i}dx^i. \tag{A.1} $$ [Si el cambio de coordenadas es una empresa especializada para Euclidiana transformaciones $x^{\prime j} =\color{Red}{L^j{}_i} ~x^i + c^j$, $\partial x^{\prime j} /\partial x^i$ reduce a $\color{Red}{L^j{}_i}$, ortogonal de la matriz con entradas de constantes, y (A. 1) $\color{Red}{\rm becomes}$ (1.53), la transformación de la ley para $\color{Green}{\rm covectors}$.] [...]

Notas:

1. Corregido eq. (1.114) lee $$T^{\prime\mu_1\cdots \mu_m}{}_{\nu_1\cdots \nu_n} ~=~\Lambda^{\mu_1}{}_{\alpha_1}\ldots\Lambda^{\mu_m}{}_{\alpha_m}~ T^{\alpha_1\cdots \alpha_m}{}_{\beta_1\cdots \beta_n}~ (\Lambda^{-1})^{\beta_1}{}_{\nu_1}\ldots(\Lambda^{-1})^{\beta_n}{}_{\nu_n}. \etiqueta{1.114} $$

2. Corregido eq. (1.179) lee $$\frac{\partial F}{\partial x^{\prime\mu}} ~=~\frac{\partial F}{\partial x^{\nu}} \frac{\partial x^{\nu}}{\partial x^{\prime\mu}} ~=~\frac{\partial F}{\partial x^{\nu}}(\Lambda^{-1})^{\nu}{}_{\mu}. \etiqueta{1.179} $$

3. Para explicar por qué (A. 1) no se convierte en (1.53), vamos a ${\bf e}^1$, $\ldots$, ${\bf e}^n$, ser un (doble) en $V^{\prime}$. A la luz de (1.53), para que un covector $\omega=\omega_i{\bf e}^i\in V^{\prime}$ a ser independientes de la elección de la base, la base dual debe transformar como $$ {\bf e}^{\prime i} ~=~ M^i{}_j ~{\bf e}^j, \tag{*}$$ donde $$ M~=~L^{-1}. \tag{1.45}$$ La identificación de la doble bases de ${\bf e}^i\leftrightarrow dx^i$, por encima de la eq.(*) se convierte en (A. 1). Por otra parte, en la oración siguiente eq. (A. 1), el $L$ de la matriz debe ser reemplazado con el $M$ de la matriz en dos lugares.

4. Por último, vamos a responder a OP título de la cuestión: Una derivada parcial $\partial_{\mu}F$ (de una función escalar $F$) es un componente de la cotangente de un vector $dF=(\partial_\mu F)dx^\mu$, mientras que la onu-aplicado en derivadas parciales $\partial_{\mu}$ es una base local de los elementos de un vector tangente. Tanto en $\partial_{\mu}F$ $\partial_{\mu}$ transformación de la covectors.

Answer 2

Me echó un rápido vistazo a las páginas 59 y 60 de la "Gravitación", en la sección 2.6 "Gradientes y derivadas Direccionales", a ver si hay algo que no podemos utilizar para aclarar esta cuestión.

En esta sección, el gradiente de la $f$$\mathbf df$, la derivada direccional a lo largo del vector de $\mathbf v$ $\partial_{\mathbf v}f$ y la relación siguiente se tiene:

$$\partial_{\mathbf v}f = \langle\mathbf df, \mathbf v \rangle$$

A continuación, suponiendo un conjunto de base de formularios de $\mathbf dx^{\mu}$, y la doble base de vectores $\mathbf e_{\mu}$ hemos

$$\partial_{\mu} f \equiv \partial_{\mathbf e_{\mu}}f = \langle\mathbf df, \mathbf e_{\mu} \rangle = \frac{\partial f}{\partial x^{\mu}}$$

Así, de acuerdo a MTW en esta sección, $\partial_{\mu} f$ son los componentes de $\mathbf df$ sobre esta base.

Por lo tanto, debe ser eso, por la 2ª ecuación en la pregunta,

$$\mathbf df = (\partial_{\mu} f) \mathbf dx^{\mu} $$

que es solo la expansión de la forma $\mathbf df$ sobre la base de los formularios de $\mathbf dx^{\mu}$

En cuanto a por qué Kosyakov podrían identificar esto como una contracción de un formulario y un vector no he ni idea.

Answer 3

Creo que esto es sólo imprecisa uso de la lengua por el autor - no hay nada de misterioso sucediendo, no es así, declaró:

Como se indica en la pregunta, para una hipersuperficie $\Sigma$ definido por

$$ F(x) = c \in \mathbb{R}$$

nos encontramos con que

$$ \mathrm{d}F = 0$$

debemos aferrarnos $\Sigma$. Esto es crucial - que significa que el 1 formulario a- $\mathrm{d}F$ que actúa sobre la tangente vectores de $\Sigma$ debe desaparecer de forma idéntica:

$$ \forall v \in T_x\Sigma : \mathrm{d}F(v) = (\partial_\mu F)v^\mu = 0$$

Pero podemos reconocer a $(\partial_\mu F)v^\mu$ como el producto escalar de los vectores $v$$g(\mathrm{d}F,\dot{})$, siendo este último el habitual doble de $\mathrm{d}F$ con componentes de $\partial^\mu F$. Desde $T_x\Sigma \subset T_x\mathbb{M}^4$ naturalmente, esto significa que $\mathrm{d}F = 0$, de hecho, barre una hipersuperficie en el espacio de la tangente que ha descuidado la dicción, el gradiente de su normal (aunque es realmente su doble).

Answer 4

Creo que estás confundido porque se mezcla para arriba relacionadas, pero ligeramente diferentes cantidades.

Sí, una derivada parcial es un vector y sí, un vector es un objeto con una parte superior del índice.

La afirmación anterior puede parecer contradictorio, pero en realidad no es por la siguiente razón. Un vector es un resumen de la cantidad que es un elemento de un "espacio vectorial". En este caso, el espacio vectorial que se está discutiendo es el espacio de la tangente. En un espacio vectorial, se puede elegir una base, de fundamento. Una vez que la base ha sido elegido, cualquier otro vector en el espacio vectorial puede ser descrito simplemente la prescripción de un conjunto de números. Por ejemplo, en ${\mathbb R}^2$ (en lugar de la correspondiente afín en el espacio), se puede elegir una base de vectores como ${\hat x}$${\hat y}$. Una vez que esto se ha hecho cualquier otro vector puede ser descrito simplemente por 2 números. Por ejemplo, los números de $(1,2)$ realmente implica que estamos hablando de que el vector ${\hat x} + 2 {\hat y}$.

¿Cómo funciona la discusión anterior se aplican aquí?

En el espacio de la tangente, una elección natural de base son el conjunto de derivadas parciales $\partial_\mu = \{ \partial_0 , \partial_1 , \partial_2 , \partial_3 \}$ (suponiendo que estamos en $M_4$. Cada derivada parcial es en sí mismo un vector.

Ahora, una vez que se ha elegido, de todos los demás vectores puede ser descrito por un conjunto de 4 números de $v^\mu = (v^0 , v^1 , v^2 , v^3)$ que corresponde al vector de $v^\mu \partial_\mu$. Es este sentido, que la declaración audaz anterior es cierto. A menudo, desde la base de las derivadas parciales es obvio, uno simplemente describe un vector como un objeto con una parte superior del índice de $v^\mu$.

La próxima, vamos a discutir co-vectores (cantidades, con un índice inferior). Estos son lements de la doble espacio vectorial (que es el espacio de las funciones lineales en el espacio vectorial) del espacio de la tangente. Dada la derivada parcial de la base en el espacio de la tangente, entonces uno tiene una base natural en la cotangente del espacio denotado por $dx^\mu = \{ dx^0 , dx^1 , dx^2 , dx^3 \}$. Tenga en cuenta que cada diferencial en sí es un covector. Esta base natural se define por la relación $dx^\mu (\partial_\nu ) = \delta^\mu_\nu$. Como antes, una vez que esta base natural ha sido elegido, cualquier elemento de la cotangente del espacio puede ser descrito por 4 números, es decir, $v_\mu = \{ v_0, v_1 , v_2 , v_3 \}$ que corresponde a la covector $v_\mu dx^\mu$.

En resumen, $\partial_\mu$ por cada $\mu$ corresponde a una de las 4 dimensiones del vector, mientras que $v^\mu$ por cada $\mu$ corresponde a 4 componentes de un único vector. Del mismo modo, $dx^\mu$ por cada $\mu$ corresponde a un 4-dimensional covector mientras que $v_\mu$ por cada $\mu$ corresponde a 4 componentes de una única covector.

PS 1 - a Veces la gente le gusta usar otras bases de $\partial_\mu$ $dx^\mu$ sobre la tangente y la cotangente espacios respectivamente. Estos son conocidos como no-coordinar bases.

PS 2 - Sólo para ser claros, $\partial_\mu$ es un vector, sino $\partial_\mu F$ es una función