Conjugacy de la Cantante cíclico grupos en $\mathrm{P\Gamma L}$

Question

La motivación

Esta es una especie de continuación a esta pregunta en conjugacy de la Cantante cíclico de los grupos en el GL.

El "original" de la definición de un Cantante de ciclo no está en el GL, pero los siguientes ligeramente diferente configuración geométrica:

Definición

Un grupo cíclico $\Sigma$ de collineations de un número finito de geometría proyectiva $\mathrm{PG}(k-1,q)$ se llama un Cantante cíclico grupo si $\Sigma$ actúa con regularidad en el conjunto de puntos. (Cualquier generador de un Cantante cíclico grupo se llama un Cantante ciclo).

El grupo de collineations de $\mathrm{PG}(k-1,q)$ está dado por $\mathrm{P\Gamma L}(k,q)$ (con su acción natural en el conjunto de los subespacios de $\mathrm{GF}(q)^k$).

Necesariamente, el orden de $\Sigma$ es igual al número de puntos en $\mathrm{PG}(k-1,q)$, que es $\frac{q^{k}-1}{q-1}$.

Pregunta

Son dos Cantante cíclico subgrupos de $\mathrm{P\Gamma L}(k,q)$ conjugada?

Primeros pensamientos

Mi sensación es que la respuesta debe todavía ser "sí", pero no lo sé seguro.

Un primer paso podría ser la de pensar acerca de la pregunta en PGL: Tomar un Cantante ciclo, encontrar un Cantante ciclo preimagen en GL y aplicar el GL-resultado. Sin embargo, hasta ahora no veo un riguroso argumento de por qué debe haber siempre un adecuado preimagen en GL.

Answer 1

Por un conocido resultado si Zsigmondy, con un par de excepciones, por $k>1$, hay un primer $r$ que divide $p^k-1$, pero no divide $p^i-1$ cualquier $i<k$. A continuación, un Cantante cíclico grupo en ${\rm PGL}(k,q)$ está contenida en el centralizador $C$ de Sylow $r$-subgrupo $R$ de ${\rm PGL}(k,q)$.

Desde el inverso de la imagen de $R$ en ${\rm GL}(k,q)$ es un producto directo de $\hat{R} \times Z$, donde $Z$ es el grupo de matrices escalares, que tiene orden de $q-1$, coprime a $r$, e $\hat{R} \in {\rm Syl}_r({\rm GL}(k,q))$, la inversa de la imagen en ${\rm GL}(k,q)$ de $C$ centraliza $\hat{R}$.

Ahora $\hat{R}$ actos irreducible en ${\mathbb F}_q^k$, así que por Schur del lema, su centralizador en ${\rm GL}(k,q)$ es el grupo multiplicativo de una división de álgebra más de ${\mathbb F}_q$, que es conmutativa ya que el campo es finito. Desde este centralizador contiene un Cantante cíclico de orden $q^k-1$, esta división álgebra debe ser ${\mathbb F}_{q^k}$, por lo que este Cantante ciclo es el centralizador de $\hat{R}$ en ${\rm GL}(k,q)$.

Por lo que su imagen en ${\rm PGL}(k,q)$, que es el Cantante original de ciclo, debe ser el pleno centralizador $C$ de $R$, y ahora se deduce a partir del Teorema de Sylow de que cualquiera de las dos Cantante de los ciclos de conjugar en ${\rm PGL}(k,q)$.

Los casos excepcionales en los que la Zsigmondy prime no existe cuando se $q=2$, $k=6$, en cuyo caso $Z=1$ así que no hay nada que demostrar, y cuando se $k=2$ e $q+1$ es una potencia de $2$, pero en caso de que un Sylow $2$-subgrupo de ${\rm PGL}(k,q)$ es diedro de la orden de $2(q+1)$, y el Cantante ciclo es su única máximo cíclico de los subgrupos, por lo que el resultado sigue de nuevo a partir del Teorema de Sylow.

${\bf Added\ later}$: El argumento anterior es para ${\rm PGL}(k,q)$, no ${\rm P \Gamma L}(k,q)$. Creo que el resultado es válido en ${\rm P \Gamma L}(k,q)$, y me limitaré a esbozar un argumento.

Así que vamos a $q=p^e$ con $p$ prime. Vamos a elegir nuestro Zsigmondy prime $r$ tal que $r$ divide $q^k-1 = p^{ke}-1$, pero $r$ no divide $p^m-1$ cualquier $m < ke$ (y tenga en cuenta que esto significa que tenemos un par de casos más excepcionales, $q^k = 4^3,8^2$ que tiene que ser manejado por separado, posiblemente por equipo).

Tenga en cuenta que $r$ no se puede dividir $e$, ya que si $e=rs$ entonces $r$ divide $p^{krs} - p^{ks}$ y, por tanto, $r$ divide $p^{ks}-1$, contrario a la hipótesis. Así que nuestro Sylow $r$-subgrupo $R$ de $G$ aún se encuentra en ${\rm PGL}(k,q)$.

El grupo ${\rm \Gamma L}(k,q)$ se define como la semidirect producto ${\rm GL}(k,q) \rtimes \langle \sigma \rangle$, donde $\sigma$ induce el campo automorphism de orden $e$ que actúa mediante la aplicación de $x \mapsto x^e$ a las entradas de la matriz. Este grupo de proyectos en ${\rm P\Gamma L}(k,q)$.

Ahora ${\rm \Gamma L}(k,q)$ incrusta en ${\rm GL}(ke,p)$. Por el mismo argumento, como antes, a la inversa de la imagen en ${\rm GL}(ke,p)$ de la centralizador $C$ de $R$ en ${\rm PGL}(ke,p)$ es cíclico de orden $q^k-1$, que es la misma que la de su centralizador en ${\rm GL}(k,q)$, y, por tanto, también de la misma como su centralizador en ${\rm \Gamma L}(k,q)$.

Por lo $C$ es el centralizador de $R$ en ${\rm P \Gamma L}(k,q)$, y el argumento procede como antes.

Sé que esta prueba es más complicado de lo que es posible que usted prefiera, y es posible que hay un más fáciles de la prueba. Pero tengo algo de experiencia con probar los resultados en estas semilinear grupos, y el uso de Zsigmondy de los números primos es una técnica estándar.