Demostrar que para cualquier número primo (p) existe un campo con $p^2$ elementos

Question

Mientras que la práctica de este tema, me he quedado prendado de esta pregunta, y no sé si mi solución es correcta. Me gustaría tener tu entrada:

Yo defino $I=\langle x^2+p\rangle$

Claramente: $x^2+p \neq 0\pmod{p}$ porque p es primo, por lo tanto $I$ es un ideal maximal en $\mathbb{Z}_{p}[x]$, y es un núcleo de algunos isomorfismo de $\phi :\mathbb{Z}_{p}[x] \setminus I \rightarrow F$.

Ahora sabemos que en ese campo, hay $p^2$ elementos. Es que completar?

Answer 1

Hay dos importantes defectos en esta prueba:

En primer lugar, $x^2+c=x^2\pmod{c}$, por lo que esta realidad no es primo en cualquiera de las $\mathbb{Z}_c[x]$

En segundo lugar, $(x^2)=(x^2+p)$ en $\mathbb{Z}_p[x]$ e este ideal no es la máxima, porque está contenida en $(x)$.

Usted necesita encontrar una forma diferente ideal para el uso. Me resulta más fácil pensar que es $\mathbb{Z}/I\cong \mathbb{F}_{p^k}$ para elegir adecuadamente,$I$, personalmente.

Answer 2

Lo que quiero hacer es encontrar un polinomio irreducible sobre el campo $\Bbb F_p$ con $p$ elementos. En el caso de $p=2$ ambos $x^2+1$ e $x^2+0$ son cuadrados, por lo que reducible. El único otro polinomio de grado dos es $x^2+x+1$, el cual trabaja.
Para $p>2$, ya que el grupo multiplicativo $\Bbb F_p^\times$ ha $p-1$ elementos, un número, en el subgrupo de plazas es adecuada, y no por lo que cada elemento de $\Bbb F_p$ es un cuadrado. Deje $a$ ser uno de esos, y, a continuación, $x^2-a$ es un buen irreductible, cuadrática, polinomial.

Answer 3

El polinomio que usted eligió no funciona, porque "$x^2+p$" no es primo en $\Bbb F_p[x]$. De hecho, "$x^2+p$", en $\Bbb F_p[x]$, es el polinomio $x^2$, que no es primo. O, en sus términos, $0\in\Bbb F_p$ es una raíz.

Si usted puede dar por sentado que cada campo tiene una expresión algebraica de cierre, usted podría hacer esto, sin embargo: considere la posibilidad de una expresión algebraica cierre de $\Bbb F_p$ y llamar a $\overline{\Bbb F}_p$. Considere la posibilidad de $$L=\{x\in\overline {\Bbb F}_p\,:\,x^{p^2}-x=0\}$$

Puesto que la derivada de $f(x)=x^{p^2}-x$ es $-1$, que es coprime con $f$ en $\overline{\Bbb F}_p[x]$, el polinomio $x^{p^2}-x$ tiene exactamente $p^2$ distintas raíces en $\overline{\Bbb F}_p$. Usted sabe que $0\in L$ y se puede comprobar (el uso de la fórmula de Newton) que $a,b\in L\implies ab\in L\wedge a-b\in L$. Ahora, observa que el $a\in L\setminus\{0\}\implies a^{-1}=a^{p^2-1}$.