Grupo de acciones y natural isomorphisms

Question

Deje $G$ ser un grupo como categoría, y deje $S$ ser la imagen de $G$ a $Hom(G,-)$ functor. El $Hom$ functor define un bijection $\chi: G \to S$ entre los elementos de las $S$ y morfismos de $G$, y por lo tanto $S$ está equipada con un canónica grupo de acción $\psi$ dado por $\psi(g,s) = \chi(g\cdot\chi^{-1}(s))$.

Sin embargo, se puede definir de muchas otras acciones del grupo, dado un elemento $h$ de G, por $\psi'(g,s) = \chi(h \cdot g \cdot h^{-1} \cdot \chi^{-1}(s))$. A mí me parece que estas acciones están relacionadas con la natural isomorphisms de la $Hom(G,-)$ functor. Si $h=(\chi^{-1}(s))^{-1}$, incluso podemos obtener el derecho de acción del grupo sobre el $s$.

Mi pregunta es: ¿qué marco debo usar si me gustaría utilizar todas estas acciones del grupo en $S$, y no sólo el canónico ?

Answer 1

No estoy seguro de si es lo que usted está buscando. Sin embargo, teniendo en cuenta la categoría de $\mathcal C$ con un único objeto de $\ast$ y el monoid $\hom(\ast,\ast)$ siendo el grupo de $G$, la categoría de $\mathbf{Sets}^\mathcal{C}$ de functors $$ \mathcal C \to \mathbf{Sets} $$ es la categoría de $G$-conjuntos y $G$-conjuntos de morfismos.

A continuación, el functor $\hom(\ast, -) : \mathcal C \to \mathbf{Sets}$ es el $G$-establecer $G$ junto con la acción $G\times G \to G,\, (g,x) \mapsto gx$. Yoneda del lema establece que para cada una de las $G$-establecer $S$, hay un $G$-conjuntos de isomorfismo $$ \hom_{G-\mathrm{sets}} (G, S) \cong S $$ natural en $G$. Por otra parte, este isomorfismo es dada por $$ \varphi \mapsto \varphi(e) \qquad (e\text{ unit of }G).$$