A la izquierda vectores propios en comparación con la Derecha vectores propios

Question

Supongamos que tenemos una matriz de $A$ y un simétrica matriz invertible $D$ tal que $DA$ es simétrica. El derecho vectores propios de $A$ se $v_1,\cdots,v_n$ con autovalores $\lambda_1,\cdots, \lambda_n$. Podemos utilizar esta información para derivar (o estimación) de la izquierda vectores propios/autovalores de $A$?

Answer 1

Voy a asumir que $D$ es simétrica.

Deje $x$ ser un autovector de $A$ correspondiente al autovalor $\lambda$. Deje $y=Dx$. Entonces

$$A'y = (A'D)(D^{-1} y) = DAx =\lambda Dx = \lambda y.$$

Así que, a continuación, $y$ es un autovector de $A'$.