Un módulo de descomposición problema

Question

Deje $A$ ser finito dimensionales algebra semisimple sobre $\mathbb{C}$ e $M$ es un finitely generado Un módulo. Demostrar que $M$ tiene sólo un número finito de submódulos de iff $M$ es una suma directa de pares no isomorfos módulos sencillos.

Cualquier sugerencias de cómo resolverlo?

Answer 1

Este es un CW respuesta compuesta en un esfuerzo para eliminar esta pregunta sin respuesta de la cola. Se basa en Bruno sugerencias en los comentarios.

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Supongamos $R$ es semisimple Artinian anillo, que puede ser expresado como un número finito de suma directa de $R\cong \oplus R_i$ cuando la $R_i$ son simples Artinian anillos. Para cualquier derecho $R$ módulo $M$, $MR_i$ es un derecho $R$ submódulo de $M$ (así como un derecho $R_i$ módulo), y por otra parte $M=\oplus MR_i$. Esto es sólo la descomposición de la $M$ homogénea en pedazos, y, de hecho, las distintas $MR_i$ son sumas de los distintos isotipos de simple $R$-submódulos de $M$.

La descomposición también establece que cada submódulo de $M$ va a ser una suma directa de los submódulos de la $MR_i$. Así, el producto de estos $R$ módulos tendrá un número finito de submódulos si cada individuo $MR_i$ tiene un número finito de submódulos.

Vamos a demostrar que para un simple Artinian $\Bbb C$-álgebra $A$, un $A$-módulo tiene un número finito de submódulos si el módulo es simple. Considere la posibilidad de $S\oplus S$ simple $A$-módulo de $S$. Observar que $(x,\lambda x)A$ es un submódulo de $S\oplus S$ cualquier $\lambda\in \Bbb C$ e $x\neq 0$.

Ahora si $(x,\alpha a)A=(x,\beta x)A$ para algunos $\alpha,\beta$, se deduce que el $(xY,\alpha xY)=(x,\beta x)$ para algunos $Y\in A$. Pero, a continuación,$x= xY$, e $\alpha x=\alpha x Y=\beta x$. Desde $x\neq 0$, $\alpha=\beta$. Esto muestra que para las distintas opciones de $\lambda$, $(x,\lambda x)A$ son distintos submódulos. Ya que hay infinidad de opciones para $\lambda$, $S\oplus S$ tiene infinidad de submódulos. Cualquier no-simple $A$ módulo tendría que contener, al menos, dos copias de $S$, y por lo tanto infinintely muchos de los submódulos.

Así que en resumen, si $M$ tiene un número finito de submódulos, a continuación, cada una de las $MR_i$ es en realidad un simple $R$ (y simple $R_i$) del módulo. Desde cada una de las $MR_i$ corresponde a un distinto homogénea pieza de $R$, son pares nonisomorphic. En este caso es posible contar los submódulos: si hay, por ejemplo, $k$ de la $MR_i$, que es distinto de cero en la descomposición, a continuación, $M$ ha $2^k$ submódulos