Deje $A$ ser un anillo conmutativo. Dado cualquier subconjunto $S\subseteq A$, no es el ideal generado por $S$:
$$\langle S\rangle=\bigcap_{\substack{\text{ideals }I\\ \text{with }I\,\supseteq \,S\strut}}\!\!\!I$$
Se compone de
elementos de $S$
cualquier suma finita de elementos de $S$
cualquier producto de un elemento de $A$ con un elemento de $S$
cualquier suma finita de elementos a partir de los pasos anteriores
cualquier producto de un elemento de $A$ con un elemento de los pasos anteriores
cualquier suma finita de elementos a partir de los pasos anteriores
cualquier producto de un elemento de $A$ con un elemento de los pasos anteriores
$\vdots$
Como resulta que, este proceso es redundante (no produce nuevos elementos), después del paso 4. Por lo tanto,
$$\langle S\rangle=\{\text{finite sums each of whose terms is something from $A$ times something from $S$}\}$$
cual es generalmente escrito en símbolos como
$$\langle S\rangle=\left\{\sum_{r=1}^na_rs_r:\;a_r\in A,\; s_r\in S,\;n\in\mathbb{N}\right\}$$
Entonces, ante dos ideales $I, J$ de un anillo de $A$, su producto es el ideal generado por el conjunto de productos:
$$P=\{ij:i\in I, j\in J\}$$
Es decir,
$$IJ=\langle P\rangle=\left\{\sum_{r=1}^na_ri_rj_r:\;a_r\in A,\; i_r\in I,\;j_r\in J,\;n\in\mathbb{N}\right\}$$
Desde $I$ e $J$ son ideales, son cerrado bajo la multiplicación por elementos de la $A$, por lo que cualquier particular
$$\begin{align*}
\sum_{r=1}^na_ri_rj_r&=\underbrace{(a_1i_1)}_{{}\in I}\underbrace{j_1}_{{}\in J}+\cdots + \underbrace{(a_ni_n)}_{{}\in I}\underbrace{j_n}_{{}\in J}\\\\
\text{or just as well,}&\quad= \underbrace{i_1}_{{}\in I}\underbrace{(a_1j_1)}_{{}\in J}+\cdots + \underbrace{i_n}_{{}\in I}\underbrace{(a_nj_n)}_{{}\in J}
\end{align*}$$
Por lo tanto, para que un producto de dos ideales, no tenemos que escribir las sumas con los coeficientes de $A$:
$$IJ=\langle P\rangle=\left\{\sum_{r=1}^ni_rj_r:\; i_r\in I,\;j_r\in J,\;n\in\mathbb{N}\right\}$$
