¿Cuándo no podemos tratar los diferenciales como fracciones? ¿Y cuándo está perfectamente bien?

Question

Antecedentes

Soy un estudiante de cálculo de primer año, por lo que preferiría que las respuestas permanecieran en un lenguaje sencillo.

Es conocimiento común y me parece un mantra que no dejo de escuchar una y otra vez que "no se deben tratar los diferenciales/derivadas como fracciones".

Por supuesto, me refiero en particular a la notación de Leibniz.

Sin embargo, aparte de una respuesta rápida como "oh, es porque no es una fracción sino más bien un tipo de operador", nunca obtuve realmente una respuesta completa sobre por qué no podemos tratarlo como tal. Simplemente se queda al borde del tabú en mi mente, donde a veces se utiliza y a veces no.

La confusión se agrava aún más cuando muchas cosas parecen simplemente funcionar si las tratamos solo como fracciones (por ejemplo, sustitución algebraica/tasas relacionadas)

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Ejemplo

Se está bombeando aire en un globo a una velocidad de $100cm^3/s$. Queremos la tasa de cambio del radio cuando el radio es de $25cm$.

$$\text{nos dan}\ \frac{dv}{dt}=100cm^3/s$$ $$\text{queremos}\ \frac{dr}{dt}\ \text{cuando}\ r=25cm$$ Así que resolveremos esto usando la relación $v=\frac{4}{3}\pi r^3$ $$\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dr}\frac{dr}{dt}$$ $$\frac{dv}{dt}\frac{dr}{dv}=\frac{dr}{dt}$$ $$100\frac{1}{4\pi r^2}=\frac{1}{25\pi}$$ Entonces la respuesta es $\frac{dr}{dt}=\frac{1}{25\pi}$ cuando $r=25cm$

*Nota la manipulación de derivadas como si fueran fracciones comunes usando álgebra.

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Pregunta

¿Cuándo exactamente puedo tratar los diferenciales/derivadas como fracciones y cuándo no puedo?

Por favor, ten en cuenta que al final del día, soy un estudiante universitario de primer año. Se prefiere una respuesta fácil de entender en lugar de una más rigurosa matemáticamente pero menos amigable para un principiante como yo.

Answer 1

Solo haré dos comentarios ampliados.

Primero, si desea tratar $dy/dx$ como una fracción, entonces necesita hacer dos cosas:

• (1) Tener una definición matemática clara y precisa de lo que son $dy$ y $dx
• (2) Tener una forma de dividir las cantidades $dy$ y $dx$.

Hay algunas formas de responder a (1), pero la respuesta más común entre los matemáticos -- es decir, a la pregunta de "¿qué son realmente $dy$ y $dx$?" -- es algo técnica: $dy$ y $dx$ son "formas diferenciales," objetos más avanzados de lo que permite un curso típico de cálculo.

Más problemático, sin embargo, es (2): las formas diferenciales no son cosas que se puedan dividir. Puede protestar que seguramente todo objeto matemático que pueda pensar se puede sumar, restar, multiplicar y dividir, pero por supuesto, eso no es cierto: no puede (por ejemplo) dividir un cuadrado por un triángulo, o $\sqrt{2}$ por un signo de integral $\int$.

En segundo lugar, cada instancia en la que se tratan expresiones como $dy/dx$ como fracciones -- como, como dice usted, sustitución-$u$ y tasas relacionadas -- son solo la regla de la cadena o la linealidad de las derivadas (es decir, $(f+g)' = f' + g'$ y $(cf)' = cf'$). Cada instancia.

Entonces, sí, $dy/dx$ puede ser tratado como una fracción en el sentido (y en la medida) en que la Regla de la Cadena $dy/dx = (dy/du)(du/dx)$ es algo que es verdadero, pero eso es básicamente hasta donde llega la analogía de la fracción. (De hecho, en cálculo multivariable, llevar la analogía de la fracción demasiado lejos puede llevar a problemas reales, pero no entremos en esto.)

Editar: A petición del usuario, aquí hay ejemplos de manipulaciones similares a fracciones que no son válidas: $$\left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = \frac{(dy)^2}{(dx)^2} \ \ \text{ o } \ \ 2^{dy/dx} = \sqrt[dx]{2^{dy}}.$$ Porque estas manipulaciones son absurdas, a menudo se advierte a los estudiantes que no traten las derivadas como fracciones.

Answer 2

Supongamos que $\Delta x$ es un número real pequeño (pero finito y distinto de cero) y $\Delta f$ es la cantidad que cambia una función $f$ cuando su entrada cambia de $x$ a $x + \Delta x$. Entonces, no es cierto que $\Delta f = f'(x) \Delta x$ (con igualdad exacta), pero es cierto que $\Delta f \approx f'(x) \Delta x. Eres libre de manipular $\Delta x$ y $\Delta f$ como desees, al igual que lo harías con cualquier número real, siempre y cuando recuerdes que las ecuaciones que obtengas son solo aproximadamente verdaderas. Puedes esperar que "en el límite" obtendrás ecuaciones exactamente verdaderas (si eres cuidadoso).

Por ejemplo, supongamos que $f(x) = g(h(x))$. Entonces \begin{align} f(x + \Delta x) &= g(h(x+\Delta x)) \\ &\approx g(h(x) + h'(x) \Delta x) \\ &\approx g(h(x)) + g'(h(x)) h'(x) \Delta x, \end{align} lo que nos dice que \begin{equation} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} \approx g'(h(x)) h'(x). \end{equation} Y ciertamente parece plausible que si tomamos el límite cuando $\Delta x$ se aproxima a $0$ obtendremos igualdad exacta: \begin{equation} f'(x) = g'(h(x)) h'(x). \end{equation}

Estos tipos de argumentos, introduciendo cambios pequeños en $x$ y haciendo aproximaciones lineales utilizando la derivada, son la intuición esencial detrás del cálculo.

A menudo, argumentos como este pueden convertirse en demostraciones rigurosas solo manteniendo un registro de los errores en las aproximaciones y limitándolos de alguna manera.

Answer 3

Primero, $dx$ y $dy$ son de hecho formas diferenciales: cosas que, dado un punto y un vector con este punto como origen, nos dan algún valor, lineal y antisimétrico en el argumento del vector, continuo / diferenciable / suave en el argumento del punto.

Ahora, por Newton-Leibniz, cualquier forma diferencial en $\mathbb{R}$ es de la forma $dy = f(x)dx$, donde $dx$ es una forma diferencial tal que $dx(x, h) = h$ (aquí, $h$ es un vector unidimensional - se puede tratar como un desplazamiento de $x$).

Entonces, podemos intentar definir la división como $\frac{dy}{dx} = \frac{f(x)dx}{dx} = f(x)$. Si bien funciona por ahora, falla en dimensiones superiores.

Supongamos que estamos en un plano, teniendo dos formas diferenciales básicas: $dx_1$ y $dx_2$ ($dx_i$ es solo la proyección en la $i$-ésima coordenada). Nuevamente, cualquier forma diferencial es $dy = f_1(x)dx_1 + f_2(x)dx_2$. Dividimos por $dx_1$: $\frac{dy}{dx_1} = f_1(x) + f_2(x)\frac{dx_2}{dx_1}$. Podríamos decir aquí que $\frac{dx_2}{dx_1}$ es cero, ya que los componentes de un vector son independientes, pero en realidad hagamos la división. Deje que $h = (h_1, h_2)$ sea el vector de desplazamiento, entonces $\frac{dx_2}{dx_1}(x,h) = \frac{h_2}{h_1}$. Wow, esto seguramente no es igual a cero, pero mide algún tipo de desplazamiento relativo en coordenadas. La cuestión es que ahora depende de $h$, y el resultado de la división no puede ser solo una función de $x$.

Lo que realmente se desea aquí es una especie de producto punto, ya que, por ejemplo, el producto punto con el vector base da la coordenada correspondiente. Aquí, este "producto punto" surge naturalmente: tome una forma $dy$ e inserte el vector base en ella: $dy(x, e_1) = f_1(x)dx_1(e_1)+f_2(x)dx_2(e_1) = f_1(x)$ (ya que $dx_1(e_1) = 1$ y $dx_2(e_1) = 0$). ¿Por qué $e_1$? Es un campo vectorial dual a la forma $dx_1`, por eso.

Entonces, aunque parece una fracción, en realidad es más un producto punto.

Answer 4

La verdad histórica del asunto es que, cuando se estaba inventando el Cálculo, los matemáticos aún no estaban utilizando límites o argumentos $\epsilon$ - $\delta$ o algo casi riguroso. Todos sus argumentos se basaban en razonamientos algebraicos usando infinitesimales - cantidades asumidas como infinitamente pequeñas pero aún diferentes de cero. Cuando Leibnitz introdujo la razón $dy/dx, lo hizo con la intención de que fuera una razón real de infinitesimales. Cuando un cambio de variables en una integral producía una expresión como $dy = 2x dx$, literalmente significaba que el infinitesimal $dy$ era más grueso que $dx$ por un factor de $2x$ (y esta escala era necesaria para que la integral - como una suma de infinitos infinitesimales - funcionara correctamente).

"Pero ¿los infinitesimales no son un sinsentido lógico?", preguntas. En una palabra, sí - y mucha gente no nada tonta lo señaló repetidamente, incluso en ese momento. La respuesta general era, esencialmente: "Bueno, todo funciona, así que déjanos en paz". Pero después de un par de cientos de años de eso, los matemáticos finalmente tuvieron que resolver los problemas que los infinitesimales estaban causando; es en este punto donde se inventaron los argumentos $\epsilon$ - $\delta$ y los límites.

Entonces, si los infinitesimales están fuera, ¿por qué sigue $dy/dx$? Aparte de la inercia histórica, el hecho es que tratar estas expresiones como fracciones no es casualidad - Leibnitz pensó mucho en la notación, y eligió esta forma para que la simple manipulación algebraica intuitiva de las fórmulas tienda a arrojar resultados correctos en análisis. En resumen, la notación es una gran constructora de intuiciones (la notación de Newton, no tanto - por eso se usa menos).

Para el analista moderno: Piense en estas expresiones como 'términos contables', cuya manipulación adecuada ayuda a mantener relaciones internas entre fórmulas que son necesarias para que sus argumentos se adhieran a los teoremas subyacentes que las justifican (en última instancia, relacionadas con las relaciones entre los $\epsilon$s y los $\delta$s en sus demostraciones).

Answer 5

$dy\over dx$ es, por definición, un límite de una función que asigna $x$ a $y.

Es un símbolo, una forma de escritura acordada. Podría ser también un signo de perrito pero eso no sería útil.

Esa cierta forma "similar a una fracción" de expresar cierto límite nos ayuda a nosotros, humanos, a utilizar una ley matemática probada. Esa ley establece que la derivada de una función compuesta $g \circ f$ es igual a la derivada de $g$ multiplicada por la derivada de $f. Eso no es trivial.

El hecho de que muchos de nosotros nos confundamos sobre por qué podemos tratarlo como si fuera una fracción demuestra cuán eficiente es realmente esta notación.

Vamos a hacer matemáticas:

Sea $f:x\rightarrow y$ diferenciable en cualquier $x.

Sea $g:y\rightarrow z$ diferenciable en cualquier $y.

${dz\over dx}:=\lim_{\Delta x\to0}{\Delta z\over \Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}{\Delta z\over \Delta y}{\Delta y\over \Delta x}

Ahora, dado que sabemos que $f$ y $g$ son diferenciables, sabemos que sus límites existen, lo que significa que podemos hacer lo siguiente:

$\lim_{\Delta y\to0}{\Delta z\over \Delta y}\cdot\lim_{\Delta x\to0}{\Delta y\over \Delta x}={dz\over dy}\cdot{dy\over dx}

demostrando así que ${dz\over dx}={dz\over dy}\cdot{dy\over dx}

¡Pero oh, mira eso! ¡Parece que reducimos una fracción!

Esta está muy lejos de ser una demostración rigurosa completa pero espero que algo de esto haya ayudado a tu entendimiento.