Dado 'un' objetos idénticos de una especie y 'b' idénticos objetos de otro tipo. Además, debido a la 'k' indistinguibles de los cubos. De cuántas maneras se puede poner la '(a+b)' los objetos en la 'k' cubos de tal forma que cada segmento tiene al menos un solo objeto?
Como un ejemplo, supongamos que tenemos 3 Como y 2 Bs y tenemos que dividirlos en 2 cubos. (a=3, b=2, k=2). Las combinaciones posibles son:
Así, existen 5 particiones.
Sería sorprendente si una forma cerrada puede ser para este número, desde la configuración de $b=0$ daría el número de particiones de $a$ a $k$ partes, para los que no la forma cerrada es conocido. Pero fácilmente podemos escribir una generación de función, por analogía con el número de la partición de generación de función: El número deseado es el coeficiente de $x^ay^bz^k$ en
$$\prod_{{\scriptstyle l,m=0}\atop{\scriptstyle l+m\ne 0}}^\infty\frac1{1-x^ly^mz}\;.$$
Organizar, en el a + b objetos en una línea. Uno puede conseguir $\frac{(a + b)!}{a! b!}$ a dichos acuerdos. Luego, por las barras y las estrellas teoremas, sabemos que podemos partición de la disposición de a+b de los objetos en k de los cubos en ${a+b-1\choose{k-1}}$ formas posibles. Por lo tanto, en total,$$\frac{(a + b)!}{a! b!}{a+b-1\choose{k-1}}$$
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