¿Alguna función de la clase$\mathcal C^{1}$ asigna el conjunto medible de Jordan al conjunto medible de Jordan?

Question

Sabemos que la siguiente propiedad fundamental de las funciones de la clase $\mathcal C^{1}$:

Deje $S$ ser abierta en $\mathbb R^{n}$;deje $f:S\rightarrow \mathbb R^{n}$ ser una función de la clase $\mathcal C^{1}$.Si el subconjunto $A$ de % de $S$ tiene medida de Lebesgue cero en $\mathbb R^{n}$,entonces el conjunto $f(A)$ también tiene medida de Lebesgue cero en $\mathbb R^{n}.(\star)$

Si se sustituye la medida de Lebesgue cero por Jordania región (es decir, medible Jordan conjunto) en $(\star)$, el último argumento puede no ser la correcta. Quiero encontrar algunos contraejemplos para confirmar el último argumento es erróneo.

Answer 1

Aquí hay un contraejemplo: deje$S:=\{(x,y)\in{\mathbb R}^2\>|\>-1<x<1\}$ y considera$$f: \quad(x,y)\mapsto\bigl({\rm artanh\,}x,0\bigr)\ .$ $ El conjunto$A:=\ ]{-1},1[\>\times{\mathbb R}\subset S$ tiene la medida de Jordania$0$, pero$f(A)={\mathbb R}\times\{0\}$ no es mensurable de Jordania.

Pero si asume además que el conjunto$A$ es compacto, entonces podrá probar que$f(A)$ tiene la medida de Jordan$0$. Esto se deduce de las estimaciones globales de Lipschitz para$f$ válido en$A$.