Ideales para el anillo conmutativo y declaraciones equivalentes

Question

Necesito ayuda para resolver un problema que tengo.

Dejemos que $R$ sea un anillo conmutativo. Demostrar que para los ideales $I$ y $J$ de $R$ las dos condiciones siguientes son equivalentes.

(a) La función $R\to R/I\times R/J$ dado por $x\to(x+I,x+J)$ es suryente.

(b) $R=I+J$ .

Mi pensamiento para $a\implies b$ he tomado $(c+I,d+J)$ debe tener algo de $\alpha$ donde $\phi(\alpha)=(\alpha+I,\alpha+J)=(c+I,d+J)$ que me da que $\alpha-c\in I$ y $\alpha-d\in J$ lo que significa que está en una de las clases de equivalencia de la inicial, después de eso estoy un poco atascado.

Para $b\implies a$ Estoy completamente atascado, me parece que no debería funcionar pero no estoy del todo seguro de cómo abordarlo. ¿Cómo debería resolverlo?

Answer 1

Nos hace la vida más fácil si añadimos:

(c) La función $R \to R/I \times R/J$ tiene $(0,1)$ a su imagen y semejanza.

Obsérvese que (c) significa que hay algún $i \in R$ tal que $i \equiv 0 \bmod I$ y $i \equiv 1 \bmod J$ es decir $i \in I$ y $i-1 \in J$ . En otras palabras, $1 \in I+J$ . Esto demuestra que (b) y (c) son equivalentes. Es trivial que (a) implica (c). Por el contrario, si $(0,1)$ está en la imagen, entonces también $(1,0) = (1,1)-(0,1)$ está en la imagen. Pero $(1,0)$ y $(0,1)$ generar $R/I \times R/J$ como $R$ -módulo, para que en realidad todo esté en la imagen. Así que (c) implica (a).