Un problema de teoría de la medida

Question

Supongamos que $E_1$ y $E_2$ son un par de conjuntos compactos en $\Bbb R^d$ con $E_1 \subset E_2$ y que $a=m(E_1)$ y $b=m(E_2)$ . Demostrar que para cualquier $c$ con $a <c <b$ existe un conjunto compacto $E$ con $E_1 \subset E \subset E_2$ y $m(E)=c$ .

Definición de una función continua mediante $E_2 \setminus E_1$ que tiene medida positiva (y utilizando el Teorema del Valor Intermedio) he encontrado un conjunto acotado que satisface la propiedad anterior. ¿Cómo hacer que sea cerrado?

Answer 1

No está claro qué función continua estás utilizando aquí; sin esa información, no puedo darte una ayuda demasiado específica.

Sin embargo, le recordaré que si $f:X\to Y$ es una función continua (entre cualquier espacio topológico) entonces para cualquier $A\subseteq Y$ , $f^{-1}(A)$ está cerrado en $X$ . Ese podría ser el ingrediente que necesitas.

Si no ves cómo aplicarlo en tu caso, por favor, indícame cuál es tu función y podemos echarle un vistazo.

Answer 2

Este es un enfoque geométrico: Tome cualquier hiperplano $H$ y moverlo de forma paralela hasta que la medida de uno de los semiespacios cerrados intersecte con $E_2\backslash E_1$ tiene medida $c-\lambda(E_1)$ . Entonces el conjunto de todos los puntos de este conjunto junto con $E_1$ forman un conjunto compacto con medida $c$ . Vea la imagen de abajo.

El subconjunto naranja $O$ de $E_2\backslash E_1$ puede ser elegido para tener la medida $c-\lambda(E_1)$ . Claramente, $O$ es compacto, por lo que $O\cup E_1$ también es compacto, $E_1\subseteq E_1\cup O$ y $\lambda(E_1\cup O)=c$ .