¿La superficie Del Pezzo de grado 4 es la intersección de dos cuadriculas?

Question

Dejemos que $S$ sea una superficie de Del Pezzo $S$ de grado $4$ . Existe una secuencia exacta

$$ 0\to H^0(\mathbb{P}^4,I_S(2)) \to H^0(\mathbb{P}^4,\mathcal{O}(2))\to H^0(S,\mathcal{O}_S(2))\to0$$ donde $I_S$ es la gavilla ideal de $S$ . Dejemos que $K$ sea un divisor canónico. Tenemos $$H^0(S,\mathcal{O}(-2K_S))=13.$$

La reclamación es $$H^0(S,\mathcal{O}(-2K_S))=H^0(S,\mathcal{O}(2))$$ y de esto se deduce que $S$ es el lugar de la base de un lápiz de cuadriculas. No entiendo el isomorfismo ni cómo se deduce la afirmación sobre el lugar de la base, ¿alguien podría explicarlo?

Esto es de Dolgachev:" Geometría algebraica clásica: una visión moderna" (Thm 8.2.6)

Muchas gracias.

P.D.: el lugar geométrico de un lápiz de cuadriculas es la intersección de dos cuadriculas.

Answer 1

Su superficie Del Pezzo $S$ está incrustado en $\mathbb P^4$ anticanónicamente, es decir $\mathcal O_S(1) = - K_S$ . (Para ello, recuerde que $-K_{\mathbb P^2} = \mathcal O_{\mathbb P^3}(3)$ . Recordemos también que la explosión añade una copia del divisor excepcional al haz canónico, y que $S$ se obtiene al inflar $\mathbb P^2$ en cinco puntos, y está incrustado en $\mathbb P^4$ a través del sistema lineal de cúbicas que pasa por estos cinco puntos. Estas observaciones tomadas en conjunto te permitirán verificar la afirmación). Por consiguiente, $\mathcal O_S(-2K_S) = \mathcal O_S(2)$ y el isomorfismo declarado se deduce.

Ahora la dimensión de $H^0(\mathbb P^4, \mathcal O(2))$ es $15$ y así, a partir de la secuencia exacta $$0 \to H^0(\mathbb P^4,\mathcal I_S(2)) \to H^0(\mathbb P^4, \mathcal O(2)) \to H^0(S, \mathcal O_S(2) ) \to 0$$ encontramos que $H^0(\mathbb P^4, \mathcal I_S(2))$ es $2$ -dimensional. Esto significa precisamente que existe un espacio bidimensional de formas cuadráticas que desaparecen en $S$ y, por tanto, que $S$ es el lugar de la base del correspondiente lápiz de cuádricas.