Deje que$a$,$b$ y$c$ sean raíces de la ecuación$$x^3+15x^2-198x+1=0.$ $ Demuestre que:$$\sqrt[5]a+\sqrt[5]b+\sqrt[5]c=0$ $
Tengo una solución para este problema, pero quiero ver otras soluciones.
¡Muchas gracias!
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Si $\alpha$ es una raíz del polinomio $p(x)=x^3+15x^2-198x+1$ entonces $\alpha^{1/5}$ es una raíz del polinomio $p(x^5)=(1-3x+x^3)\cdot q(x)$. Si logramos demostrar que $(1-3x+x^3)$ es el polinomio mínimo de $\alpha^{1/5}$, la reclamación fácilmente de la siguiente manera a partir de Vieta del teorema. Para la última parte, es más sencillo para ir en la dirección opuesta.
Reclamo: si $\theta$ es una raíz de $x^3-3x+1$,, a continuación, $\theta^5$ es una raíz de $x^3+15x^2-198x+1$.
Vamos que trabajan en $\mathbb{Q}[x]/(x^3-3x+1)$. Una base de este anillo como un espacio vectorial sobre $\mathbb{Q}$ está dado por $\{1,x,x^2\}$, y mediante el cálculo de un par de polinomio resto tenemos: $$\begin{eqnarray*}1 &=& 1 \\ x^5 &=& -x^2+9x-3\\ x^{10} &=& 90x^2-109x+27\\ x^{15}&=&-1548 x^2+3417 x-1000 \end{eqnarray*} $$ así, la anterior Afirmación se sigue de eliminación gaussiana.
