Esquemas de representaciones de grupos

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo, digamos finitamente presentado como $\langle x_1,\ldots,x_k|r_1,\ldots,r_\ell\rangle$ . Fijar $n\geq 1$ un número natural. Entonces existe un esquema $V_G(n)$ contenida en $GL(n)^k$ dado por las relaciones. Este esquema parametriza $n$ representaciones dimensionales de $G$ .

Ahora bien, conozco este esquema desde que empecé a aprender geometría algebraica (uno de los primeros ejemplos que me mostraron de un conjunto algebraico fue $V_{S_3}(2)$ ) pero nunca he encontrado una buena referencia para esto. Así que mi primera pregunta es:

Is there a good reference for the geometry of schemes of representations?

Ahora, tengo algunas preguntas mucho más específicas. La principal es un punto sobre el que me había estado preguntando ociosa y tangencialmente desde que leí sobre algunos problemas abiertos relacionados con el Sistema Integrable de Calogero-Moser:

¿Existen condiciones naturales en $G$ que garantizará que $V_G(n)$ ¿ser suave? ¿Reducido? Ahora, esto es en la variedad afín, sé que el cierre proyectivo será generalmente singular, pero en el caso de $V_{S_3}(2)$ Sé que la variedad afín definida anteriormente es realmente suave, de cuatro componentes irreducibles.

Por último, para cualquier $G$ y $n$ tenemos $V_G(n)\subset V_G(n+1)$ (Tomando el subesquema donde la fila y la columna extra son ceros, excepto en la diagonal, donde es 1). Podemos tomar el límite y obtener un esquema ind, $V_G$ . ¿Cuál es la relación entre $V_G$ y la categoría $Rep(G)$ ? ¿Puede realizarse esta última como una categoría de gavillas sobre la primera? No sé nada al respecto, y como ya he dicho, la mayoría de estas preguntas son el resultado de una especulación ociosa mientras se lee sobre otra cosa.

Edición: Se me ocurre que tal y como se define, $V_G(n)$ y $V_G$ pueden no ser invariantes de $G$ pero realmente de la presentación. Así que dos cosas que añadir: una, $V_G(n)$ pretende ser realmente el esquema $Hom(G,GL(n))$ (hay algunas cuestiones que quiero barrer bajo la alfombra con grupos infinitos finitamente generados aquí, que es parte de por qué estaba pensando en las presentaciones), y en segundo lugar, las situaciones que estoy pensando son a menudo los datos de grupo con una presentación, por lo que para esa situación, $V_G(n)$ como se ha definido debería ser suficiente.

Answer 1

Charlie, como ha señalado Dmitri, hay una gran diferencia entre las variedades compactas de Kaehler y las que no lo son en lo que respecta a la estructura de las variedades de representación de sus grupos fundamentales.

Por cierto, por un teorema de Taubes, todo grupo finitamente presentable es el fundamental de una variedad compleja tridimensional compacta, por lo que no se obtiene ninguna restricción al decir que se quiere que el grupo sea el grupo fundamental de una variedad compleja. Sin embargo, las manifiestas de Taubes se construyen como espacios twistor de anti-self dual reales de 4 manifolds y nunca son Kaehler. La condición de que tu grupo pueda realizarse como el grupo fundamental de una variedad compacta de Kaehler es una condición seria y pone muchas restricciones a la variedad de representación.

Otro comentario es que el esquema de representación no depende de la presentación de su grupo. Sólo necesitas saber que el grupo está generado finitamente.

Existe una enorme literatura sobre este tema. Voy a enumerar sólo algunos de los hitos:

1. Una fuente clásica muy agradable es el libro de Lubotzky-Magid "Variedades de representaciones de grupos finitamente generados"

2. El artículo de Goldman-Milson que mencionó Dimitri es de obligada lectura.

3. Hay dos documentos fundamentales de Simpson que mencioné en este Puesto de MO .

4. Sobre el tema de los grupos fundamentales de Kaehler puedes empezar con esto libro por Amoros et al. y con este artículo por Arapura.

Answer 2

Esta es una colección de comentarios acerca de su pregunta. Voy a tratar de la pregunta como una pregunta acerca de repersentations en GL(n,R) o GL(n,C).

Luego la primera a la (simple) remak es que para cada grupo finito el repesenation vairety es suave. Yo no sería capaz de dar algunos otros no trivial (infinito) ejemplos aparte de gratis de grupo y patological ejemplos, decir cuando su grupo es un infinito simple grupo, por lo que no tiene representación en todos (grupo no-lineal), o combinaciones de cuyo.

Segundo, hay un extencive teoría de repersentation variteties fundamentales de los grupos de Kahler colectores. Uno refference es Goldman y Milson La deformación de la teoría de las representaciones fundamentales de grupos compactos de Kahler colectores.

67/PMIHES_1988_67_43_0/PMIHES_1988_67_43_0.pdf">http://archive.numdam.org/ARCHIVE/PMIHES/PMIHES_1988_67/PMIHES_1988_67_43_0/PMIHES_1988_67_43_0.pdf

Si la pista de este artículo en mathscinet, usted encontrará una gran cantidad de la bibliografía pertinente. Ellos muestran, en particular, que singularites de dichas variedades son cuadrática (teorema 1). Aunque no he leído este artículo, y no sé cómo legible es.

Es usted conisder un simple infinita grupo, digamos grupo fundamental de un género $g>1$ de la superficie, su repersentation variedad singular en el trivial de la representación (me parece que este va a ser bastante común de la situación) pero va a ser que no-singular en todos los puntos que corresponden a la irreductible repersentations.

Por último, hay algunos ejemplos de "terrbile" no cuadrática sinuglarites, por ejemplo para repesentation variedades de fundametnal grupos de tres dimensiones hiperbólicas manfiolds (de nuevo en el trivial repesentation). Esta está contenida en un artículo de Ghys (genial el artículo, pero en francés:) Observe que que el 3-dimesnional hiperbólico grupo es un grupo fundamental de un Complejo pero No Kahler colector (este es el punto principal del artículo de Ghys).

Déformations des de las estructuras de los complejos sur les espaces homogènes de SL(2,C). (Reine Angew. De matemáticas. 468 (1995), 113-138

Answer 3

Esto no es una respuesta completa, sino una especie de comentario ampliado:

En primer lugar, es habitual realizar el cociente por la acción de conjugación de $GL(n)$ (por lo que en realidad se están parametrizando clases de isomorfismo de representaciones).

En segundo lugar, si $\rho$ es alguna representación fija, dando un punto de $V_G(n)$ y $End(\rho)$ es el espacio de $k$ -endomorfismos lineales de $\rho$ con su natural $G$ -acción, entonces $H^1(G,End(\rho))$ calcula el espacio tangente de $V_G(n)$ en $\rho$ y los obstáculos a las deformaciones se encuentran en $H^2(G,End(\rho))$ . Por lo tanto, si este último espacio desaparece, entonces $V_G(n)$ es suave en $\rho$ .

En cuanto a las referencias, en el caso de que $G$ es un grupo de Galois (lo que da un marco ligeramente diferente, pero estrechamente relacionado, al de tu pregunta), mucho se puede encontrar en el artículo original de Mazur sobre deformaciones de representaciones de Galois: ``Deformación de representaciones de Galois''. Por supuesto, hay una enorme literatura posterior.

Los topólogos suelen considerar las variedades de representación en el caso de que $G$ es un grupo fundamental. También en este caso hay una gran literatura.

EDIT: Si $G$ es finita, entonces sólo tiene un número finito de reps. de una dimensión dada y la variedad de representación será un conjunto finito de puntos.

Debo añadir que cotizando por conjugación, o no, no hay demasiada diferencia. Si no se toma este cociente, entonces sólo se consideran representaciones con una base fija e incluir esta base no da realmente información adicional sobre la representación. (En algunos contextos, por ejemplo trabajando cerca de un punto $\rho$ que es reducible, hay ventajas técnicas para mantener esta información, pero sólo a efectos de evitar trabajar con pilas).

Para encontrar más literatura, yo buscaría en Google "variedades de representación".