Sea a y b sean dos números reales cualesquiera tales que a<b y que f sea la función de valor real definida en [a,b] mediante la fórmula f(x)=ex for all x∈[a,b].
Entonces, ¿cómo evaluar ∫baf(x) dx, utilizando la definición de la integral dada aquí ?
Mi intento:
Desde f es estrictamente creciente en [a,b] [¿Podemos demostrar este hecho utilizando la maquinaria desarrollada en los siete primeros capítulos de Baby Rudin?], por lo que es Riemann-integrable en [a,b] es decir, la integral ∫baf(x) dx existe como número real.
Así, la integral superior ¯∫baf y la integral inferior ∫_baf son iguales, donde ¯∫baf:=inf et \underline{\int}_a^b f \colon= \sup \left\{ \ L(P, f) \ \colon P \mbox{ is a partition of the interval } [a, b] \ \right\},
Así, para cada partición P de [a, b] tenemos L(P, f) \leq \int_a^b f \leq U(P, f).
De nuevo como f es Riemann-integrable en [a, b] por lo que a cada número real le corresponde \varepsilon > 0 podemos encontrar una partición P_\varepsilon de [a, b] tal que U \left( P_\varepsilon, f \right) - L \left( P_\varepsilon, f \right) < \varepsilon.
Ahora dejemos que P \colon= \left\{ \ x_0, x_1, \ldots, x_{n-1}, x_n \ \right\} sea cualquier partición del intervalo [a, b] donde a = x_0 < x_1 < \cdots < x_{n-1} < x_n = b. En f es una función monotónicamente creciente en [a, b] por lo que para cada i = 1, \ldots, n vemos que m_i \colon= \inf \left\{ \ f(x) \ \colon \ x_{i-1} \leq x \leq x_i \ \right\} = f \left( x_{i-1} \right) = \mathrm{e}^{x_{i-1}}, et M_i \colon= \sup \left\{ \ f(x) \ \colon \ x_{i-1} \leq x \leq x_i \ \right\} = f \left( x_{i} \right) = \mathrm{e}^{x_{i}}; por lo tanto tenemos L(P, f) \colon= \sum_{i=1}^n m_i \left( x_i - x_{i-1} \right) = \sum_{i=1}^n \mathrm{e}^{x_{i-1}} \left( x_i - x_{i-1} \right), et U(P, f) \colon= \sum_{i=1}^n M_i \left( x_i - x_{i-1} \right) = \sum_{i=1}^n \mathrm{e}^{x_{i}} \left( x_i - x_{i-1} \right).
Ahora, para cada número entero positivo n , dejemos que P_n sea la partición de [a, b] dado por P_n \colon= \left\{ \ a, a + \frac{b-a}{n}, a + \frac{2(b-a)}{n}, \ldots, a + \frac{ (n-1) ( b-a ) }{n}, b \ \right\}; es decir, P_n divide el intervalo [a, b] en n subintervalos iguales. Así, P_n = \left\{ x_0, x_1, \ldots, x_n \ \right\}, donde x_i \colon= a + \frac{ i(b-a)}{n} para cada i = 1, \ldots, n . Entonces tenemos \begin{align} L \left( P_n, f \right) &= \sum_{i=1}^n \mathrm{e}^{a + \frac{ (i-1)(b-a)}{n} } \frac{b-a}{n} \\ &= \frac{b-a}{n} \mathrm{e}^a \sum_{i=1}^n \mathrm{e}^{ \frac{ (i-1)(b-a)}{n} } \\ &= \frac{b-a}{n} \mathrm{e}^a \sum_{i=1}^n \left( \mathrm{e}^{ \frac{ b-a}{n} } \right)^{i-1} \\ &= \frac{b-a}{n} \mathrm{e}^a \sum_{i=0}^{n-1} \left( \mathrm{e}^{ \frac{ b-a}{n} } \right)^{i} \\ &= \frac{b-a}{n} \mathrm{e}^a \frac{ \left( \mathrm{e}^{ \frac{ b-a}{n} } \right)^{n} - 1 }{ \mathrm{e}^{ \frac{ b-a}{n} } - 1 } \\ &= \frac{b-a}{n} \mathrm{e}^a \frac{ \mathrm{e}^{ \frac{ n (b-a) }{n} } - 1 }{ \mathrm{e}^{ \frac{ b-a}{n} } - 1 } \\ &= \frac{b-a}{n} \mathrm{e}^a \frac{ \mathrm{e}^{b-a } - 1 }{ \mathrm{e}^{ \frac{ b-a}{n} } - 1 } \\ &= \frac{b-a}{n} \frac{ \mathrm{e}^{b } - \mathrm{e}^a }{ \mathrm{e}^{ \frac{ b-a}{n} } - 1 } \\ &= \frac{ \frac{b-a}{n} }{ \mathrm{e}^{ \frac{ b-a}{n} } - 1 } \left( \mathrm{e}^{b } - \mathrm{e}^a \right), \end{align} et \begin{align} U \left( P_n, f \right) &= \sum_{i=1}^n \mathrm{e}^{a + \frac{ i(b-a)}{n} } \frac{b-a}{n} \\ &= \frac{b-a}{n} \mathrm{e}^a \sum_{i=1}^n \mathrm{e}^{ \frac{ i(b-a)}{n} } \\ &= \frac{b-a}{n} \mathrm{e}^a \sum_{i=1}^n \left( \mathrm{e}^{ \frac{ b-a}{n} } \right)^{i} \\ &= \frac{b-a}{n} \mathrm{e}^a \mathrm{e}^{ \frac{ b-a}{n} } \frac{ \left( \mathrm{e}^{ \frac{ b-a}{n} } \right)^{n} - 1 }{ \mathrm{e}^{ \frac{ b-a}{n} } - 1 } \\ &= \frac{b-a}{n} \mathrm{e}^a \mathrm{e}^{ \frac{ b-a}{n} } \frac{ \mathrm{e}^{ \frac{ n (b-a) }{n} } - 1 }{ \mathrm{e}^{ \frac{ b-a}{n} } - 1 } \\ &= \frac{b-a}{n} \mathrm{e}^a \mathrm{e}^{ \frac{ b-a}{n} } \frac{ \mathrm{e}^{b-a } - 1 }{ \mathrm{e}^{ \frac{ b-a}{n} } - 1 } \\ &= \frac{b-a}{n} \mathrm{e}^{ \frac{ b-a}{n} } \frac{ \mathrm{e}^{b } - \mathrm{e}^a }{ \mathrm{e}^{ \frac{ b-a}{n} } - 1 } \\ &= \frac{b-a}{n} \frac{ \mathrm{e}^{ \frac{ b-a}{n} } }{ \mathrm{e}^{ \frac{ b-a}{n} } - 1 } \left( \mathrm{e}^{b } - \mathrm{e}^a \right) \\ &= \frac{b-a}{n} \left\{ 1 + \frac{1 }{ \mathrm{e}^{ \frac{ b-a}{n} } - 1 } \right\} \left( \mathrm{e}^{b } - \mathrm{e}^a \right) \\ &= \left\{ \frac{b-a}{n} + \frac{ \frac{b-a}{n} }{ \mathrm{e}^{ \frac{ b-a}{n} } - 1 } \right\} \left( \mathrm{e}^{b } - \mathrm{e}^a \right) . \end{align}
¿Es correcto lo que he hecho hasta ahora? Si es así, ¿qué sigue? ¿Cómo proceder a partir de aquí, preferiblemente utilizando sólo la maquinaria desarrollada por Walter Rudin hasta el capítulo 7 del libro? Principios del análisis matemático ¿tercera edición?
P.D:
Observamos que, para cada partición P de [a, b] tenemos L(P, f) \leq \underline{\int}_a^b f \leq \overline{\int}_a^b f \leq U(P, f). \tag{A}
Ahora, a partir de (A), podemos concluir que, para cada n \in \mathbb{N} utilizando las particiones P_n tenemos L \left( P_n, f \right) \leq \underline{\int}_a^b f \leq \overline{\int}_a^b f \leq U \left( P_n, f \right); es decir, \frac{ \frac{b-a}{n} }{ \mathrm{e}^{ \frac{ b-a}{n} } - 1 } \left( \mathrm{e}^{b } - \mathrm{e}^a \right) \leq \underline{\int}_a^b f \leq \overline{\int}_a^b f \leq \left\{ \frac{b-a}{n} + \frac{ \frac{b-a}{n} }{ \mathrm{e}^{ \frac{ b-a}{n} } - 1 } \right\} \left( \mathrm{e}^{b } - \mathrm{e}^a \right) \tag{B} para cada n \in \mathbb{N} .
Ahora vemos que \begin{align} \lim_{r \to 0} \frac{ r }{ \mathrm{e}^r - 1 } &= \lim_{r \to 0} \frac{1}{\mathrm{e}^r - 0} \qquad \mbox{ [ using the L'Hosptial's rule ] } \\ &= \frac{1}{1} \\ &= 1. \tag{1} \end{align}
Ahora como n \to \infty , (b-a)/n \to 0 por lo que de (1) podemos concluir que \lim_{n \to \infty} \frac{ \frac{b-a}{n} }{ \mathrm{e}^{ \frac{b-a}{n} } - 1 } = 1. \tag{2}
Por fin dejar n \to \infty en (B) y utilizando (2), encontramos que \mathrm{e}^b - \mathrm{e}^a \leq \underline{\int}_a^b f \leq \overline{\int}_a^b f \leq \mathrm{e}^{b } - \mathrm{e}^a. Por lo tanto \underline{\int}_a^b f = \mathrm{e}^b - \mathrm{e}^a = \overline{\int}_a^b f. Eso es, \int_a^b f = \mathrm{e}^b - \mathrm{e}^a.
Espero haber completado la prueba de forma suficientemente satisfactoria en la Posdata, ¿no?
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Para demostrar que \exp es Riemann-integrable en [a,b] ¿por qué no usas math.stackexchange.com/questions/2319741/ ?