¿Cómo evaluar esta integral utilizando esta definición?

Question

Sea $a$ y $b$ sean dos números reales cualesquiera tales que $a < b$ y que $f$ sea la función de valor real definida en $[a, b]$ mediante la fórmula $$f(x) = \mathrm{e}^x \ \mbox{ for all } \ x \in [a, b].$$

Entonces, ¿cómo evaluar $$\int_a^b f(x) \ \mathrm{d} x,$$ utilizando la definición de la integral dada aquí ?

Mi intento:

Desde $f$ es estrictamente creciente en $[a, b]$ [¿Podemos demostrar este hecho utilizando la maquinaria desarrollada en los siete primeros capítulos de Baby Rudin?], por lo que es Riemann-integrable en $[a, b]$ es decir, la integral $\int_a^b f(x) \ \mathrm{d} x$ existe como número real.

Así, la integral superior $\overline{\int}_a^b f$ y la integral inferior $\underline{\int}_a^b f$ son iguales, donde $$\overline{\int}_a^b f \colon= \inf \left\{ \ U(P, f) \ \colon P \mbox{ is a partition of the interval } [a, b] \ \right\},$$ et $$\underline{\int}_a^b f \colon= \sup \left\{ \ L(P, f) \ \colon P \mbox{ is a partition of the interval } [a, b] \ \right\},$$

Así, para cada partición $P$ de $[a, b]$ tenemos $$L(P, f) \leq \int_a^b f \leq U(P, f).$$

De nuevo como $f$ es Riemann-integrable en $[a, b]$ por lo que a cada número real le corresponde $\varepsilon > 0$ podemos encontrar una partición $P_\varepsilon$ de $[a, b]$ tal que $$U \left( P_\varepsilon, f \right) - L \left( P_\varepsilon, f \right) < \varepsilon.$$

Ahora dejemos que $P \colon= \left\{ \ x_0, x_1, \ldots, x_{n-1}, x_n \ \right\}$ sea cualquier partición del intervalo $[a, b]$ donde $$a = x_0 < x_1 < \cdots < x_{n-1} < x_n = b.$$ En $f$ es una función monotónicamente creciente en $[a, b]$ por lo que para cada $i = 1, \ldots, n$ vemos que $$m_i \colon= \inf \left\{ \ f(x) \ \colon \ x_{i-1} \leq x \leq x_i \ \right\} = f \left( x_{i-1} \right) = \mathrm{e}^{x_{i-1}},$$ et $$M_i \colon= \sup \left\{ \ f(x) \ \colon \ x_{i-1} \leq x \leq x_i \ \right\} = f \left( x_{i} \right) = \mathrm{e}^{x_{i}};$$ por lo tanto tenemos $$L(P, f) \colon= \sum_{i=1}^n m_i \left( x_i - x_{i-1} \right) = \sum_{i=1}^n \mathrm{e}^{x_{i-1}} \left( x_i - x_{i-1} \right),$$ et $$U(P, f) \colon= \sum_{i=1}^n M_i \left( x_i - x_{i-1} \right) = \sum_{i=1}^n \mathrm{e}^{x_{i}} \left( x_i - x_{i-1} \right).$$

Ahora, para cada número entero positivo $n$ , dejemos que $P_n$ sea la partición de $[a, b]$ dado por $$P_n \colon= \left\{ \ a, a + \frac{b-a}{n}, a + \frac{2(b-a)}{n}, \ldots, a + \frac{ (n-1) ( b-a ) }{n}, b \ \right\};$$ es decir, $P_n$ divide el intervalo $[a, b]$ en $n$ subintervalos iguales. Así, $$P_n = \left\{ x_0, x_1, \ldots, x_n \ \right\},$$ donde $$x_i \colon= a + \frac{ i(b-a)}{n}$$ para cada $i = 1, \ldots, n$ . Entonces tenemos $$\begin{align} L \left( P_n, f \right) &= \sum_{i=1}^n \mathrm{e}^{a + \frac{ (i-1)(b-a)}{n} } \frac{b-a}{n} \\ &= \frac{b-a}{n} \mathrm{e}^a \sum_{i=1}^n \mathrm{e}^{ \frac{ (i-1)(b-a)}{n} } \\ &= \frac{b-a}{n} \mathrm{e}^a \sum_{i=1}^n \left( \mathrm{e}^{ \frac{ b-a}{n} } \right)^{i-1} \\ &= \frac{b-a}{n} \mathrm{e}^a \sum_{i=0}^{n-1} \left( \mathrm{e}^{ \frac{ b-a}{n} } \right)^{i} \\ &= \frac{b-a}{n} \mathrm{e}^a \frac{ \left( \mathrm{e}^{ \frac{ b-a}{n} } \right)^{n} - 1 }{ \mathrm{e}^{ \frac{ b-a}{n} } - 1 } \\ &= \frac{b-a}{n} \mathrm{e}^a \frac{ \mathrm{e}^{ \frac{ n (b-a) }{n} } - 1 }{ \mathrm{e}^{ \frac{ b-a}{n} } - 1 } \\ &= \frac{b-a}{n} \mathrm{e}^a \frac{ \mathrm{e}^{b-a } - 1 }{ \mathrm{e}^{ \frac{ b-a}{n} } - 1 } \\ &= \frac{b-a}{n} \frac{ \mathrm{e}^{b } - \mathrm{e}^a }{ \mathrm{e}^{ \frac{ b-a}{n} } - 1 } \\ &= \frac{ \frac{b-a}{n} }{ \mathrm{e}^{ \frac{ b-a}{n} } - 1 } \left( \mathrm{e}^{b } - \mathrm{e}^a \right), \end{align}$$ et $$\begin{align} U \left( P_n, f \right) &= \sum_{i=1}^n \mathrm{e}^{a + \frac{ i(b-a)}{n} } \frac{b-a}{n} \\ &= \frac{b-a}{n} \mathrm{e}^a \sum_{i=1}^n \mathrm{e}^{ \frac{ i(b-a)}{n} } \\ &= \frac{b-a}{n} \mathrm{e}^a \sum_{i=1}^n \left( \mathrm{e}^{ \frac{ b-a}{n} } \right)^{i} \\ &= \frac{b-a}{n} \mathrm{e}^a \mathrm{e}^{ \frac{ b-a}{n} } \frac{ \left( \mathrm{e}^{ \frac{ b-a}{n} } \right)^{n} - 1 }{ \mathrm{e}^{ \frac{ b-a}{n} } - 1 } \\ &= \frac{b-a}{n} \mathrm{e}^a \mathrm{e}^{ \frac{ b-a}{n} } \frac{ \mathrm{e}^{ \frac{ n (b-a) }{n} } - 1 }{ \mathrm{e}^{ \frac{ b-a}{n} } - 1 } \\ &= \frac{b-a}{n} \mathrm{e}^a \mathrm{e}^{ \frac{ b-a}{n} } \frac{ \mathrm{e}^{b-a } - 1 }{ \mathrm{e}^{ \frac{ b-a}{n} } - 1 } \\ &= \frac{b-a}{n} \mathrm{e}^{ \frac{ b-a}{n} } \frac{ \mathrm{e}^{b } - \mathrm{e}^a }{ \mathrm{e}^{ \frac{ b-a}{n} } - 1 } \\ &= \frac{b-a}{n} \frac{ \mathrm{e}^{ \frac{ b-a}{n} } }{ \mathrm{e}^{ \frac{ b-a}{n} } - 1 } \left( \mathrm{e}^{b } - \mathrm{e}^a \right) \\ &= \frac{b-a}{n} \left\{ 1 + \frac{1 }{ \mathrm{e}^{ \frac{ b-a}{n} } - 1 } \right\} \left( \mathrm{e}^{b } - \mathrm{e}^a \right) \\ &= \left\{ \frac{b-a}{n} + \frac{ \frac{b-a}{n} }{ \mathrm{e}^{ \frac{ b-a}{n} } - 1 } \right\} \left( \mathrm{e}^{b } - \mathrm{e}^a \right) . \end{align}$$

¿Es correcto lo que he hecho hasta ahora? Si es así, ¿qué sigue? ¿Cómo proceder a partir de aquí, preferiblemente utilizando sólo la maquinaria desarrollada por Walter Rudin hasta el capítulo 7 del libro? Principios del análisis matemático ¿tercera edición?

P.D:

Observamos que, para cada partición $P$ de $[a, b]$ tenemos $$L(P, f) \leq \underline{\int}_a^b f \leq \overline{\int}_a^b f \leq U(P, f). \tag{A}$$

Ahora, a partir de (A), podemos concluir que, para cada $n \in \mathbb{N}$ utilizando las particiones $P_n$ tenemos $$L \left( P_n, f \right) \leq \underline{\int}_a^b f \leq \overline{\int}_a^b f \leq U \left( P_n, f \right);$$ es decir, $$\frac{ \frac{b-a}{n} }{ \mathrm{e}^{ \frac{ b-a}{n} } - 1 } \left( \mathrm{e}^{b } - \mathrm{e}^a \right) \leq \underline{\int}_a^b f \leq \overline{\int}_a^b f \leq \left\{ \frac{b-a}{n} + \frac{ \frac{b-a}{n} }{ \mathrm{e}^{ \frac{ b-a}{n} } - 1 } \right\} \left( \mathrm{e}^{b } - \mathrm{e}^a \right) \tag{B}$$ para cada $n \in \mathbb{N}$ .

Ahora vemos que $$\begin{align} \lim_{r \to 0} \frac{ r }{ \mathrm{e}^r - 1 } &= \lim_{r \to 0} \frac{1}{\mathrm{e}^r - 0} \qquad \mbox{ [ using the L'Hosptial's rule ] } \\ &= \frac{1}{1} \\ &= 1. \tag{1} \end{align}$$

Ahora como $n \to \infty$ , $(b-a)/n \to 0$ por lo que de (1) podemos concluir que $$\lim_{n \to \infty} \frac{ \frac{b-a}{n} }{ \mathrm{e}^{ \frac{b-a}{n} } - 1 } = 1. \tag{2}$$

Por fin dejar $n \to \infty$ en (B) y utilizando (2), encontramos que $$\mathrm{e}^b - \mathrm{e}^a \leq \underline{\int}_a^b f \leq \overline{\int}_a^b f \leq \mathrm{e}^{b } - \mathrm{e}^a.$$ Por lo tanto $$\underline{\int}_a^b f = \mathrm{e}^b - \mathrm{e}^a = \overline{\int}_a^b f.$$ Eso es, $$\int_a^b f = \mathrm{e}^b - \mathrm{e}^a.$$

Espero haber completado la prueba de forma suficientemente satisfactoria en la Posdata, ¿no?

Answer 1

Lo que has hecho es correcto. Para concluir, basta con mirar los límites de $L(P_n,f)$ y $U(P_n,f)$ cuando $n\to +\infty$ . Se puede ver fácilmente que este límite es $\text{e}^b-\text{e}^a$ Esta es la integral $$\int_a^b \text{e}^x \text{ d}x.$$

Edita: Para precisar esta respuesta, tenga en cuenta que utilizo el teorema 6.6 de Baby Rudin, 3ª edición (véase aquí ):

$f \in \mathscr{R}(\alpha)$ en $[a, b]$ si y sólo si para cada $\varepsilon > 0$ existe una partición $P$ tal que $$U(P, f, \alpha) - L(P, f, \alpha) < \varepsilon.$$

Desde $\displaystyle \lim_{n\to+\infty} L(P_n,f) -U(P_n,f) = 0$ vemos que para cada $\varepsilon > 0$ existe $n_{\varepsilon}$ tal que la partición $P=P_{n_{\varepsilon}}$ tal que $$U(P, f) - L(P, f) < \varepsilon.$$