Extensa la categoría admite la noción de objeto conectado y, por tanto, un objeto desconectado. Sin embargo, no todos los objetos desconectados son presentable como distintos sindicatos de conectado objetos.
Entre extensas categorías, la (libre) subproducto cocompletions son caracterizados como aquellos para los que cada objeto admite una presentación como un discontinuo de la unión de objetos conectados. Desde la presentación por el subproducto es única hasta el isomorfismo en amplias categorías, esto sugiere una noción de componentes conectados de un objeto, definido hasta el isomorfismo.
Puede 'componentes conectados' se hizo functorial? Ni siquiera estoy seguro de lo que su codominio sería; $\pi_0:\mathsf{Fam}(\mathsf A)\longrightarrow \mathsf{Fam}(\mathsf A)$ no se ve bien para mí.
Un ejemplo que tengo en mente es afín a los esquemas. Aquí, desconexión se mide por la presencia de idempotents, por lo que podemos (y hacer) definir un functor de todos los afín esquemas en álgebras booleanas (de la idempotents de su función anillos). Sin embargo, algunos afín esquemas totalmente desconectados, por lo que sus componentes conectados no se puede reconstruir.
Este ejemplo muestra un caso en el que los componentes conectados son siempre definidos (como la categoría de los espacios topológicos), pero no siempre se puede reconstruir el objeto original. Así debería de ser una de los componentes conectados functor realmente ser definido en forma extensa la categoría?
Será parte de la contigüidad?
Añadido. Estoy teniendo problemas con la comprensión de la unidad. Aquí está el cálculo de la verificación de la contigüidad $\pi_0\dashv H$ donde $H$ es el copower functor. $$\begin{aligned}\mathsf{Hom}_{\mathsf{C}}\left(X,HA\right) & \cong\mathsf{Hom}_{\mathsf{C}}\left(\coprod_{i\in\Pi_{0}(X)}C_{i},HA\right)\cong\prod_{i\in\Pi_{0}(X)}\mathsf{Hom}_{\mathsf{C}}\left(C_{i},HA\right)\\ & \cong\prod_{i\in\Pi_{0}(X)}\mathsf{Hom}_{\mathsf{C}}\left(C_{i},\coprod_{A}{\bf 1}\right)\cong\prod_{i\in\Pi_{0}(X)}\left(\coprod_{A}\mathsf{Hom}_{\mathsf{C}}(C_{i},{\bf 1})\right)\\ & \cong\prod_{i\in\Pi_{0}(X)}\mathsf{Hom}_{\mathsf{Set}}({\bf 1},A)\cong\mathsf{Hom}_{\mathsf{Set}}\left(\coprod_{i\in\Pi_{0}(X)}{\bf 1},A\right)\\ & \cong\mathsf{Hom}_{\mathsf{Set}}(\Pi_{0}(X),A) \end{aligned}$$
La clave de isomorfismo parece ser $$\coprod_A\mathsf{Hom}_\mathsf{C}(C_i,\mathbf{1})\cong\mathsf{Hom}_\mathsf{Set}(\mathbf 1,A)$$ que identifica las imágenes individuales de los componentes conectados a lo largo de $f:\pi_0X\rightarrow A$ con la constante de mapas asociados a cada componente conectado.
A la inversa isomorfismo $\Phi:\mathsf{Hom}_{\mathsf{Set}}(\Pi_{0}(X),A)\cong \mathsf{Hom}_{\mathsf{C}}\left(X,HA\right)$ se define de forma análoga, y la unidad está definida por el correspondiente $\eta _X=\Phi(1_{\pi_0X})$.
Yo no entiendo la forma de pensar de $\eta$ fuera de la ordenación caso. Hay un mantra para lo que hace, o es el formalismo todo lo que hay, con la intuición detrás disponibles en el espacial caso solo?
