Estoy atascado en esta prueba... yo casi lo tengo, pero debo de haber cometido un error. Es la parte B que me estoy haciendo mal. Gracias de antemano por su ayuda!
PREGUNTA: Vamos a $X$ satisfacer a la comunidad autónoma de la SDE $$dX=b(X)dt+\sigma(X)dW,$$ con $X(0)=y$ donde $y\in\mathbb{R}$ es una constante, y deje $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ser cualquier función suave.
(A) Demostrar que $$\mathbb{E}f(X(t))-f(y)=\mathbb{E}\int_0^t\left[f'(X(s))b(X(s))+\frac{1}{2}f''(X(s))\sigma^2(X(s))\right]ds.$$
(B) Deducir que la probabilidad de transición de $p(x,t|y)$ de % de $X(t)$ satisface las ansias de Kolmogorov (Fokker-Planck) ecuación $$\partial_tp=-\partial_x(b(x)p)+\frac{1}{2}\partial_{xx}(\sigma^2(x)p).$$
INTENTO:
(A) Hacer uso de Ito de la fórmula y, a continuación, tomar las expectativas acondicionado en $X(0)=y$.
(B) que Expresan las expectativas de uso de la probabilidad de transición de $p(x,t|y)$ de % de $X(t)$ da $$\int f(x)p(x,t|y)dx-f(y)=\int\int_0^t p(x,s|y)\left[f'(x)b(x)+\frac{1}{2}f''(x)\sigma^2(x)\right]ds\, dx$$ Tomar el tiempo derivativo en ambos lados: $$\int f(x)\partial_t p(x,t|y)dx=\int p(x,t|y)\left[f'(x)b(x)+\frac{1}{2}f''(x)\sigma^2(x)\right] dx=\int \left[f'(x)b(x)p(x,t|y)+\frac{1}{2}f''(x)\sigma^2(x)p(x,t|y)\right] dx$$ (EL FINAL DE ESTA PARTE ES LO QUE ME SALE MAL)
La integración por partes (como dijo mi profesor que debemos hacer), obtenemos:
Para la primera parte de el lado derecho de la ecuación, utilizando $dv=f'(x)dx\implies v=f(x)$ e $u=b(x)p(x,t|y)\implies du=\partial_x\left(b(x)p(x,t|y)\right)$: $$\int f'(x)b(x)p(x,t|y)dx=uv-\int v\,du=f(x)b(x)p(x,t|y)-\int f(x)\partial_x\left[b(x)p(x,t|y)\right]dx$$
Y para la segunda parte de el lado derecho de la ecuación: $$\frac{1}{2}\int\left[f''(x)\sigma^2p(x,t|y)\right]dx=\frac{1}{2}f'(x)\sigma^2(x)p(x,t|y)-\frac{1}{2}\int f'(x)\partial_x\left[\sigma^2(x)p(x,t|y)\right]dx=\frac{1}{2}f'(x)\sigma^2(x)p(x,t|y)-\frac{1}{2}f(x)\partial_x\left[\sigma^2(x)p(x,t|y)\right]+\frac{1}{2}\int f(x)\partial_{xx}\left[\sigma^2(x)p(x,t|y)\right]dx$$
Por lo tanto, $$\int f(x)\partial_t p(x,t|y)dx=f(x)b(x)p(x,t|y)-\int f(x)\partial_x\left[b(x)p(x,t|y)\right]dx+\frac{1}{2}f'(x)\sigma^2(x)p(x,t|y)-\frac{1}{2}f(x)\partial_x\left[\sigma^2(x)p(x,t|y)\right]+\frac{1}{2}\int f(x)\partial_{xx}\left[\sigma^2(x)p(x,t|y)\right]dx=\int\left[-\partial_x\left[b(x)p(x,t|y)\right]+\frac{1}{2}\partial_{xx}\left[\sigma^2(x)p(x,t|y)\right]\right]f(x)dx+f(x)b(x)p(x,t|y)+\frac{1}{2}f'(x)\sigma^2(x)p(x,t|y)-\frac{1}{2}f(x)\partial_x\left[\sigma^2(x)p(x,t|y)\right]$$
ESTO ES LO que me sale MAL, el resultado se supone que ser $$\int f(x)\partial_t p(x,t|y)dx=\int\left[-\partial_x\left[b(x)p(x,t|y)\right]+\frac{1}{2}\partial_{xx}\left[\sigma^2(x)p(x,t|y)\right]\right]f(x)dx\implies \int \partial_t p(x,t|y)dx=\int\left[-\partial_x\left[b(x)p(x,t|y)\right]+\frac{1}{2}\partial_{xx}\left[\sigma^2(x)p(x,t|y)\right]\right]dx,$$ pero ¿cómo se consigue eso? Porque estoy seguro de que la igualdad no es posible? $$f(x)b(x)p(x,t|y)+\frac{1}{2}f'(x)\sigma^2(x)p(x,t|y)-\frac{1}{2}f(x)\partial_x\left[\sigma^2(x)p(x,t|y)\right]=0$$
