Entiendo que la una.e. la convergencia no es topologizable, ya que existe contradicción, por ejemplo, con el hecho de que $L^p$ convergencia no implica un.e. la convergencia.
Así que yo estoy pidiendo lo que está mal con esta construcción, se supone que el rendimiento de una topología cuya convergencia es una.e. la convergencia.
Deje $\Omega$ ser una medida en el espacio, y deje $X=L^p(\Omega)$ para algunos $p\in [1,\infty)$.
Definición. Un subconjunto $S\subset X$ se llama cerrado si para todas las $\left\{f_n\right\}\subset X$ con $f_n\to f$ a.e., tenemos $f\in S$.
Ahora vamos a $\tau$ ser la colección de todos los conjuntos cerrados. Tenemos que demostrar que cumple con la topología de los axiomas (para conjuntos cerrados).
Está claro que $ \emptyset, X\in \tau$.
Deje $ \left\{S_j\right\}_{j\in J}\subset \tau$. Entonces si $\left\{f_n\right\}\subset S:=\bigcap_{j\in J}S_j$, e $ f_n\to f$, ya que el $ \left\{f_n\right\}\subset S_j$ para todos los $ j\in J$, tenemos $ f\in S_j$ para todos los $j$, y por lo tanto $ f\in S$. Por lo tanto, $ S$ es cerrado.
Deje $ S_1,S_2\in \tau$. Entonces si $ \left\{f_n\right\}\subset S_1\cup S_2$ con $ f_n\to f$, hay una larga de $ \left\{f_n\right\}$ que está totalmente contenida en cualquiera de las $ S_1$ o $ S_2$. Tales larga converge de nuevo a $ f$, lo $ f\in S_1\cup S_2$, e $ S_1\cup S_2$ es cerrado.
Por lo tanto el complemento de $\tau$ es una topología en $X$, y espero que en esta topología debemos tener $f_n\to f$ fib $f_n\to f$ a.e:
Si $f_n\to f$ a.e., a continuación, vamos a $U$ abierto (es decir, $U^c$ es cerrado) barrio de $f$. Por contradicción si $f_n\not\to f$, no sería una larga $\left\{f_{n_k}\right\}$ que queda de las lecciones aprendidas en $U$, sin embargo, $f_{n_k}\to f\in U$ a.e., lo que se contradice con el hecho de que $U^C$ es cerrado.
Si $f_n\to f$, entonces estoy luchando para demostrar que $f_n\to f$ a.e. Es que esta es, entonces? No es cierto que la convergencia en la topología se define solamente implica un.e. la convergencia?
(Intento: Supongamos $f_n\to f$. Si $f_n\not \to f$ a.e., luego hay una larga $F:=\left\{f_{n_k}\right\}$ tal que $f\notin \bar{F}$. Me gustaría decir que hay un barrio $U$ de % de $f$ tal que $U\cap \bar{F}= 0$, una contradicción con $f_n\to f$; pero esto no es posible a menos puedo demostrar algunas propiedades de divisibilidad de $(X,\tau)$. )
