Categorías generadas por un solo objeto

Question

¿Hay algún ejemplo interesante de categorías generadas por un solo objeto? Con esto me refiero a lo siguiente. Sea $\mathcal{C}$ sea una categoría y que $\star \in Ob(\mathcal{C})$ . Crear una nueva categoría $\mathcal{D}$ cuyos objetos son $\star$ y (co)límites formales $F:I \to \mathcal{C}$ tal que $F(i)=\star$ para todos $i \in I$ (sin restricción de morfismos). Decimos que $\mathcal{D}$ es generado por $\star$ . ¿Hay alguna categoría que conozcamos que surja de esta manera?

$\textbf{EDIT}:$ Creo que prefiero eliminar el término "formal" de mi pregunta. Prefiero pensar en los (co)límites que se dan en $\mathcal{C}$ .

Answer 1

Para cualquier categoría (pequeña) $\mathcal{A}$ la categoría de "colímites formales de diagramas en $\mathcal{A}$ " es equivalente a la categoría de presheaf $\mathrm{Fun}(\mathcal{A}^\mathrm{op}, \mathbf{Set})$ . (Supongo que tiene la intención de que el morfismos de $\mathcal{D}$ para ser los generados libremente por la condición de que los objetos se actual colímetros en $\mathcal{D}$ )

En su problema, $\mathcal{A}$ es la subcategoría completa de $\mathcal{C}$ abarcada por el objeto $\star$ . (Supongo que $\mathcal{C}$ es localmente pequeño)

En el caso (como el suyo) de que $\mathcal{A}$ es una categoría con un objeto (que llamaré $\star$ ), la categoría de preseaf tiene una descripción alternativa: $\hom(\star, \star)$ es un monoide $M_\mathcal{A}$ y $\mathrm{Fun}(\mathcal{A}^\mathrm{op}, \mathbf{Set})$ es equivalente a la categoría de derecho $M_{\mathcal{A}}$ -sets. (es decir, conjuntos con una acción correcta por el monoide $M_\mathcal{A}$ )

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La categoría de "límites formales" se obtiene mediante la dualización: $\mathrm{Fun}(\mathcal{A}, \mathbf{Set})^\mathrm{op}$ .