Las ecuaciones de estructura de Cartan para una conexión y varios asociados 1-formas pueden comprobarse de forma algebraica sencilla. ¿Pero es allí un significado global o geométrico para la ecuaciones puede uno visualizar la prueba?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Hay una gran historia detrás de todo esto. No sé si te gusta pensar de esa forma, pero las cosas aclarar cuando uno los mira desde una perspectiva más general de oo-Mentira algebroid valores de formas diferenciales con curvatura.
Todavía estoy trabajando en estas entradas, tratando de exponer algunos de mis trabajos con Jim Stasheff y Hisham Sati. Si me incomodan con las preguntas, hay una buena probabilidad de que voy a mejorar la exposición de taylor a tus necesidades.
Jeremy McGee
Puntos
151
Bien, esta es la forma en que me gustaría pensar en conseguir la curvatura de una 1-forma, pero esto podría no ser lo que preguntaban.
Supongamos que tenemos una conexión a un G-conjunto. La curvatura mide lo que sucede cuando se transportan alrededor de un pequeño bucle. Podemos tomar esto para ser un paralelogramo: se mueven en la dirección X, la dirección Y, a continuación, la dirección -X, entonces la dirección Y.
Ahora, una vez que hemos fijado una banalización de la G-bundle en todos los puntos, el efecto de movimiento en la dirección X es descrito por un elemento gX en G, cerca de la identidad. El efecto de la paralelogramo movimiento es g_X g_Y g_X^{-1} g_Y^{-1}, pero corregido ligeramente (porque el efecto de movimiento a lo largo del borde -X no es la inversa de movimiento a lo largo de X; los dos bordes están desplazadas.)
El antiguo término corresponde en la notación habitual para [\omega \omega]: mide la noncommutativity de G. de La "corrección" corresponde a la d\omega: mide la variación en la 1-forma a través del paralelogramo. Espero que esto ayude.
