¿Qué se va a hacer?

Question

Siendo una especie de tipo de no conseguir la caída de este. Cuando vemos a $\mathbb{Z}/\mathbb{2Z}$ por ejemplo, yo puedo relacionarlo con el conjunto de los enteros modulo $2$.

Miro a $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ y no estoy seguro. Pero consideinrg la notaton análoga a $\mathbb{Z}/\mathbb{2Z}$ creo

$\mathbb{Z}/\mathbb{2Z}=\{0,1\}$. Esto puede ser pensado como "los números enteros que están en $\mathbb{2Z}$" y "los que no lo son." Por lo $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ significa separar "los reales de los que están en $\mathbb{Z}$(es decir, te enteros)" y "aquellos que son non0integers".

Por lo tanto, es $\mathbb{R}/\mathbb{Z}=\{[x],[y]:[x] \in \mathbb{Z}, [y] \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}\}$ así como en $\mathbb{Z}/\mathbb{2Z}$, sólo dos elementos distintos? enteros y no enteros??

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Actualización: me han comentado que está implícitamente definido algunos de equivalencia de la relación de $x \sim y \Leftrightarrow x-y \in \mathbb{Z}$. En términos más generales, aún estaría confundido, por ejemplo, cuando definimos un cociente de conjuntos para definir un cono en un conjunto $X$, al parecer, se denota

$$X \times I/(X \times \{0\})$$

aquí, yo entiendo que sea todos los $(x,t)$ donde $t=0$ son considerados "iguales", es decir, la equivalnce relación es que $(x,t) \sim (y,s) \Leftrightarrow s=t=0$. En este caso parece que, en condiciones normales de humanos lingüísticos, se puede traducir a

"vamos a definir una relación de equivalencia en $X\times I$, lo que nos simbolizan por '$/$' y la relación específica es que, si los pares $(x,t),(y,s)$ ha $0$ en su segunda entrada, los tratamos de la misma"

En otras palabras, cualquier $(x,t) \in X \times \{0\}$ son todos "el mismo" aquí. A diferencia del caso en $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ que se define en la relación de equivalencia implícita "-" operación $x-y$, la de arriba cociente es bastante sencillo. No necesito pensar $(x,t) \sim (y,s) \Leftrightarrow t-s=0 \text{ or } s-t=0$ o algo de una manera similar.

Es decir, el cono es acerca de "si es en el conjunto de $X \times \{0\}$ o no", mientras que el $\mathbb{Z}/\mathbb{nZ}$ no lo es. Tiene algunas adicionales de la operación "-" que se definen en ella.

Y para añadir un poco más...Si $N$ es un subgrupo normal de $G$, luego tenemos a $G/N=\{\text{left or right cosets of }N\}$, que apenas se relacionan con el debate que hemos tenido aquí. A veces hay algunas operaciones "$+-\times /$" que se define por una relación de equivalencia, a veces no la hay, a veces, es si es o no es en el conjunto dado, a veces no, a veces se requiere de una definición explícita como para $G/N$.

Me refiero, en general, los conjuntos de $X,Y$. Yo digo lo que es $X/Y$? Es allí una manera de definir rigurosamente esto? Parece que se puede decir "bueno, tal vez todos los elementos de $X$ que están en $Y$ puede ser visto como el equivalente?" o "cualquier $x \times y \in Y \Leftrightarrow x \sim y$?" o "cualquier $x-y \in Y \Leftrightarrow x \sim y$?" ¿Cuáles son las reglas?

Pero utilizar la misma notación"/", y además, estamos en el mundo de la teoría de conjuntos, básicamente. En las diferentes áreas de la matemática, entiendo que la misma notación que significa cosas diferentes, a veces, pero esto no debería ser el caso, se debe eso? Así que no veo cómo puedo distinguir la "instrucción" de uno en otro, yo simplemente veo ningún patrón en la definición del coeficiente de ajuste/espacio....

Answer 1

$ \mathbb{R}/\mathbb{Z} $ no tiene sentido cuando se ve como un anillo cociente, porque $\mathbb{Z} $ no es un ideal de $ \mathbb{R} $, así que voy a ver como un cociente de grupo.

En ese caso, el cociente grupo $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ se compone de desplazado copias de $\mathbb{Z}$ por cada elemento de $[0, 1)$, y una multitud innumerable. Más explícitamente, tenemos que $ \mathbb{R}/\mathbb{Z} = \{ \mathbb{Z} + r : r \in [0, 1) \} $, y es fácil comprobar que todos estos cosets son distintos. Usted puede pensar en esto como la definición de una relación de equivalencia $ x \equiv y $ a $\mathbb{R}$ tal que $ x \equiv y $ fib $ x - y \in \mathbb{Z} $, y, a continuación, considerando el conjunto de todas las clases de equivalencia de esta relación.

Answer 2

Una realización concreta de$\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ viene dada por el mapa$t \mapsto e^{2\pi i t}$, que es un homomorfismo$(\mathbb R,+) \to (\mathbb C^*,\times)$, cuyo núcleo es$\mathbb Z$ y cuya imagen es el círculo unitario.

En este contexto, es instructivo considerar qué es$\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$.

Answer 3

Por definición, dos elementos $x, y \in \Bbb R$ están en la misma clase de equivalencia (grupo coset en $+$) en $\Bbb R / \Bbb Z$ fib $y - x \in \Bbb Z$, es decir, si $x$ e $y$ tienen la misma parte fraccionaria. De modo que, así como cada elemento en $\Bbb Z / n \Bbb Z$ tiene un único representante en $\{0, \ldots, n - 1\} \subset \Bbb Z$, cada elemento de la $\Bbb R / \Bbb Z$ tiene un único representante en, por ejemplo, $[0, 1)$.

Edición de Volver a las adiciones a la pregunta. Es cierto que la notación $A / B$ está sobrecargado, pero en cada caso se supone que la noción de cociente es apropiada para el contexto (o poner un poco más precisamente, la categoría de los objetos $A, B$): Si $A$ e $B$ son adecuados espacios topológicos, se asume por defecto que esta es la topológico cociente de espacio, mientras que si son apropiados algebraica de los objetos, se supone que estamos trabajando con una noción de cociente que respeta la estructura algebraica (por ejemplo, una noción de cosets en un grupo).

Por ejemplo, el cono de la construcción $X \rightsquigarrow (X \times I) / (X \times \{0\})$ es esencialmente un topológico uno---en efecto, ¿qué otras cociente de la estructura está disponible (además el conjunto subyacente de uno)? Por otro lado, como en el ejemplo $\Bbb R / \Bbb Z$, los objetos tienen un habitual de la estructura del grupo y un habitual de la topología, y no es explícita cuál es la noción de cociente se utiliza. En este caso, el grupo cociente mapa de $\Bbb R \Bbb R / \Bbb Z$ ocurre todo el tiempo en la naturaleza (seguramente es el más importante ejemplo de una cubierta mapa de la Mentira de los grupos). La topológico cociente de $\Bbb R$ formado por la identificación de todos los números enteros se define el "ramo de countably muchos círculos", pero en la práctica se produce infinitamente menos común que la anterior noción algebraica. Dicho esto, si usted quiere que sus escritos sean totalmente inequívoco, especifique a qué te refieres!

Answer 4

La "barra" se utiliza la notación para los diferentes tipos de cociente de objetos, con diferentes significados dependiendo del contexto o de la categoría. Puede ser confuso para mantenerlo recto.

En realidad, hay dos o tres que compiten significados de la "barra" en la expresión de $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$.

En primer lugar, existe el grupo de "teórico", que significa: para cualquier grupo de $G$ y normal de cualquier subgrupo $N$, $G/N$ indica el cociente de grupo. Una manera de identificar el cociente grupo $Q$ hasta el isomorfismo es hacer una conjetura en lo $Q$ podría ser, entonces, para la construcción de un surjective homomorphism $G \mapsto Q$ con kernel $N$. Como otras respuestas han indicado, $\mathbb{R}/N$ es isomorfo al "círculo" $S^1$ que consta de los números complejos con la unidad de la norma, en virtud de la operación de los complejos de la multiplicación, y la surjective homomrophism $\mathbb{R} \mapsto S^1$ uno construye para la prueba de ello es el mapa $t \mapsto e^{2\pi i t}$.

En segundo lugar, existe el "topológico grupo de acción", que significa: para cualquier espacio topológico $Y$ y cualquier acción de un grupo de $H$ en $Y$, $Y/H$ denota la órbita del espacio, que se define como sigue. Las órbitas están definidos para ser los subconjuntos de la forma $O_y = \{h \cdot y \,\bigm|\, h \in H\}$. Estos subconjuntos forma una partición de $Y$, e $Y/H$ es el cociente del espacio de este patition. Una manera de identificar la órbita espacio de $Y/H$ hasta homeomorphism es hacer una conjetura en un espacio topológico $Q$ que podría ser homeomórficos a $Y/H$, y, a continuación, construir un cociente mapa de $f : Y \mapsto Q$ de manera tal que el conjunto de punto preimages $\{f^{-1}(q) \,\bigm|\, q \in Q\}$ coincide con el conjunto de órbitas $\{O_y \,\bigm|\, y \in Y\}$. En tu ejemplo, donde $Y=\mathbb{R}$ e $\mathbb{Z}$ actúa en $\mathbb{R}$ mediante la adición, una vez más, $Q=S^1$ e $f : \mathbb{R} \to S^1$ es el mapa $f(t)=e^{2\pi i t}$.

En tercer lugar, existe el "grupo topológico", que significa: $\mathbb{R}$ es un grupo topológico, $\mathbb{Z}$ es un subgrupo normal, y $\mathbb{R}/N$ es el cociente topológico grupo. Una vez más, uno puede formalizar lo que "cociente" significa, en el contexto de topológicos, grupos y subgrupos normales; intuitivamente, esto significa que es, simultáneamente, un grupo de teóricos de cociente y un topológica de la acción del grupo cociente. Una vez más, uno puede demostrar que $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ es isomorfo, en la categoría de topológica de los grupos, el grupo topológico $S^1$.

También, la "barra" se utiliza con un "topológico cociente del espacio", que significa: dado un espacio topológico $X$ y una relación de equivalencia denotado $\sim$, a veces se utiliza la expresión $Y/\!\sim$ para denotar el cociente del espacio definido por la descomposición de la $Y$ en clases de equivalencia de $\sim$. El "topológico grupo de acción" cociente discutido anteriormente es un tipo especial de topológico cociente del espacio, donde la equivalencia de la relación de $\sim$ está definido por $y \sim y'$ si y sólo si $O_y=O_{y'}$.